6.3. Синтез управления при наличии ограничения на управление. Метод выделения неустойчивой координаты

Способ решения задачи управления 6201, предлагаемый в этом параграфе, основывается на наличии у характеристического уравнения неустойчивой в отсутствии управления системы 6202, одного (не более) положительного корня.

Запишем уравнение 6201 в виде

, 2216221\* MERGEFORMAT (.)

где оператор дифференцирования по времени.

Введем переменную

. 2226222\* MERGEFORMAT (.)

Тогда из 6221 следует, что она удовлетворяет уравнению

Оглавление

. 2236223\* MERGEFORMAT (.)

При отсутствии управления переменная неустойчива.

Замечание

Если в системе со скалярным управлением существует только один положительный корень характеристического уравнения, то всегда может быть выделена одна, неустойчивая в отсутствии управления, координата.

Управление, целью которого является стабилизация положения равновесия , должно стабилизировать и неустойчивую координату 6222 в нуле.

Построим управление в виде обратной связи по неустойчивой координате . Возьмем кусочно-линейное управление с насыщением

2246224\* MERGEFORMAT (.)

Согласно выбранному закону управления 6224 в области, где

2256225\* MERGEFORMAT (.)

переменная изменяется в соответствии с уравнением

, 2266226\* MERGEFORMAT (.)

и асимптотическая устойчивость тривиального решения в области 6225 будет обеспечена при значении .

Следовательно, область притяжения определяется условием

. 2276227\* MERGEFORMAT (.)

Найдем теперь область управляемости. Заметим, что вся область притяжения 6227 является областью управляемости, так как попадая в нее, решения уравнения 6226 там и остаются. Допустим, что начальные условия не принадлежат области притяжения. Например

. 2286228\* MERGEFORMAT (.)

Тогда, согласно 6224, , и решение уравнения 6223 имеет вид

2296229\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

В случае, если

, 2306230\* MERGEFORMAT (.)

решение 6229 может только возрастать или оставаться постоянным и, значит, оно уже не сможет попасть в область притяжения 6227, где при . Для начальных условий 6230 переменная не может быть стабилизирована.

Пусть теперь удовлетворяют условию

. 2316231\* MERGEFORMAT (.)

Тогда, согласно 6224, , и решение уравнения 6223 имеет вид

2326232\* MERGEFORMAT (.)

Если

2336233\* MERGEFORMAT (.)

решение 6232 может только убывать или оставаться постоянным и, значит, оно уже не попадет в область притяжения, где при . Для начальных условий 6233 переменная также не может быть стабилизирована.

Следовательно, задача стабилизации нулевого значения переменной может быть решена только при начальных условиях

, 2346234\* MERGEFORMAT (.)

или

, 2356235\* MERGEFORMAT (.)

или принадлежать области притяжения 6227.

Иначе говоря, область управляемости для переменной определяется неравенством

2366236\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

Замечание

Область притяжения целиком лежит внутри области управляемости. Чем меньше величина коэффициента обратной связи , чем ближе он к 1, тем большую часть области управляемости занимает область притяжения. При они совпадают.

Согласно формулам замены 6222 область притяжения 6227 в координатах будет

. 2376237\* MERGEFORMAT (.)

Уравнение 6201 для переменной в области притяжения 6237 имеет вид

. 2386238\* MERGEFORMAT (.)

Корни характеристического уравнения будут равны

, 2396239\* MERGEFORMAT (.)

и, при значении , оба корня уравнения отрицательны. Положение равновесия будет иметь вид устойчивого узла (смотри п.6.1.5.)

Согласно формулам замены 6222, область управляемости 6236 для переменных имеет вид

2406240\* MERGEFORMAT (.)

Сформулируем окончательный результат:

Н еустойчивое положение равновесия , управляемой системы , может быть стабилизировано с помощью управления

при условии, что значения переменных состояния в начальный момент удовлетворяют неравенству .

Оглавление

Полученный здесь результат полностью совпадает с результатом предыдущего параграфа.