1.3. Уравнения малых колебаний
Предположим, что система совершает малые колебания около положения равновесия, соответствующего нижнему положению груза. Обозначим отклонения от положения равновесия
. 11111\* MERGEFORMAT (.)
Выполним в уравнениях Лагранжа 110 замену переменных
12112\* MERGEFORMAT (.)
В результате непосредственной подстановки 112 в уравнения Лагранжа 110, получим
13113\* MERGEFORMAT (.)
Проведем
линеаризацию полученной системы
уравнений, то есть заменим нелинейные
уравнения движения 113 приближенными
линейными уравнениями. При построении
линейного приближения принимаются во
внимание только линейные по переменным
члены разложения в ряд Тейлора входящих
в уравнения функций.
Таким
образом, примем, что
,
слагаемыми
и т.п. будем пренебрегать. В результате
получим систему уравнений
14114\* MERGEFORMAT (.)
Оглавление
1.4. Нормализация. Переход к безразмерным переменным
Для нормализации системы уравнений 114 перейдем к безразмерным координатам и времени. Введем новые переменные состояния
. 15115\* MERGEFORMAT (.)
В
формулах 115 замены переменных L
– характерный линейный размер системы,
– временной нормализующий параметр.
Значения параметров L
и
выбираются
в зависимости от цели исследования, они
зависят от характерных размеров системы
и времен, на которых проводится анализ.
Немаловажным является соображение
упрощения вида уравнения и очевидности
физической интерпретации безразмерных
параметров нормализованных уравнений.
При
переходе к безразмерному времени,
следует учесть, что производные по
исходному размерному времени
и
безразмерному
связаны соотношениями
.
В результате замены переменных и перехода к безразмерному времени в формулах 114, получим
16116\* MERGEFORMAT (.)
В
системе уравнений 116 штрихом обозначено
дифференцирование по безразмерному
времени
.
Безразмерная частота изменения
возмущающей силы в правой части
.
Каждое
из слагаемых первого уравнения системы
116
имеет размерность силы, а каждое слагаемое
второго уравнения имеет размерность
момента, причем размерными являются
только коэффициенты при
,
сами же переменные и их производные
безразмерны. Для перехода к безразмерному
виду разделим каждое из уравнений 116
на коэффициент при
Оглавление
17117\* MERGEFORMAT (.)
В
уравнениях 117 все слагаемые безразмерны
и содержат безразмерные параметры
.
Очевидно,
что вид уравнений будет проще, если для
нормализующих параметров выбрать
значения
.
Такой выбор означает, что в качестве характерного времени задачи выбирается период свободных колебаний груза (в случае, если бы тележка крана была бы неподвижна), а в качестве характерного размера – длина троса.
Тогда из системы 117 получим
18118\* MERGEFORMAT (.)
Все
слагаемые в уравнениях 118 безразмерны
и содержат следующие безразмерные
параметры
.
Видно, что проведенная нормализация не годится для анализа динамики системы при бесконечно малых значениях .
1.5. Решение уравнений вынужденных колебаний
Структура
системы уравнений 118 такова, что
позволяет получить последовательно
сначала решение для
,
а затем и для
.
Исключим из системы 118 переменную
и
получим уравнение в безразмерном времени
для переменной
,
которая есть не что иное, как угол
отклонения троса от вертикали
. 19119\* MERGEFORMAT (.)
Оглавление
В уравнении 119 безразмерная частота колебаний груза
20120\* MERGEFORMAT (.)
зависит
от соотношения масс груза и тележки.
Коэффициент в правой части уравнения
равен
.
Окончательно имеем уравнение вынужденных колебаний груза
. 21121\* MERGEFORMAT (.)
Это линейное неоднородное уравнение, его частное решение с нулевыми начальными условиями может быть, согласно теореме Коши, получено в виде интеграла свёртки
, 22122\* MERGEFORMAT (.)
где
-
весовая функция,
-
функция в правой части уравнения.
Так
как весовая функция данного уравнения
равна
,
то интеграл 122 имеет вид
23123\* MERGEFORMAT (.)
Воспользовавшись известной тригонометрической формулой
,
из выражения 123 получим
24124\* MERGEFORMAT (.)
Результат
интегрирования 124 существенным образом
зависит от соотношения между собственной
частотой
колебаний груза и частотой
изменения внешней силы.
Оглавление