3.11. Некоторые обозначения

При вычислении предела функции могут возникнуть ситуации, которые описываются с помощью следующих обозначений:

𝑜 – бесконечно малая величина,

∞ - бесконечно большая величина,

С – константа

𝑜+ 𝑜= 𝑜	𝑜 𝑜= 𝑜	𝑜 с= 𝑜	𝑜+с=с
𝑜- 𝑜= 𝑜	с- 𝑜=с	= 𝑜	∞
∞+с=∞	∞ с =∞	∞+∞ =∞	∞ ∞ =∞

Могут возникнуть неопределенности, которые требуют раскрытия:

Примеры

Пример 1. Вычислить .

Решение. По правилу нахождения предела многочлена находим

Пример 2: Вычислить .

Решение. Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

Пример 3: Вычислить .

Решение. Предел делителя равен нулю: Следовательно, теорему о пределе применять нельзя.

Так как то при есть бесконечно малая, а обратная ей величина — бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, т.е.

Пример 4: Вычислить

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и следовательно, сделать возможным применение теоремы III. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо, По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

Пример 5: Вычислить .

Решение. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю:

Разложим квадратный трёхчлен в числителе на линейные множители по формуле где и — корни трёхчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на . Используя следствие 4, получим

Пример 6: Вычислить

Решение. Пределы числителя и знаменателя при , равны нулю:

Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив затем на получим

Пример 7: Вычислить

Решение. Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при стремятся к нулю. Сократив дробь на , получим

Пример 8: Вычислить .

Решение. Вынося за скобки, получим

(при величины — бесконечно малые и их пределы равны нулю).

Пример 9: Вычислить

Решение. При знаменатель неограниченно растёт, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина – бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная—частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел её при равен нулю. Следовательно,

Пример 10: Вычислить

Решение. При числитель и знаменатель—величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы III получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Пример 11: Вычислить

Решение. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :

После сокращения в числители величина ограниченная, в знаменателе величина бесконечно малая, следовательно, пределом является величина бесконечно большая.

Пример 12: Вычислить .

Решение. При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на выражение получим