2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Иными словами, последовательность называется бесконечно малой, если для любого найдётся такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство .

Теорема I. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

Теорема II. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой.

Следствие. Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

Теорема III. Для того чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы где

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого М >0 найдётся такое натуральное число N, что при п N выполняется неравенство , В этом случае пишут

Если и все числа , начиная с некоторого номера N, положительны, то последовательность стремится к + : .

Если все числа , начиная с некоторого номера N, отрицательны, то последовательность стремится к – : .

Если – бесконечно большая последовательность, то последовательность бесконечно малая. Наоборот, если – малая последовательность, то бесконечно большая.

Пример 6: Доказать, что последовательность сходится к числу 5.

Решение. Согласно определению, число 5 является пределом последовательности , если для любого можно указать такой номер N, что для всех членов последовательности с номерами п>N будет выполнено неравенство

.

Пусть задано произвольное положительное число ; тогда из последнего неравенства получим

, или

Решив это неравенство относительно n, находим

Итак, если в качестве N взять любое натуральное число, не меньшее то при всех п>N для любого будет выполнено неравенство .

Тогда по определению предела следует, что

Пусть, например, ; тогда Возьмем любой член последовательности ( ) с номером, большим 499, например n=500; тогда Находим величину

т. е. Таким образом, все члены последовательности, начиная с 500-го, находятся в – окрестности числа 5, т. е., в интервале (4,99; 5,01). Аналогичным образом для любого заданного числа можно найти номер N, начиная с которого все члены последовательности попадут в – окрестность числа 5.

Пример 7: Доказать, что последовательность является расходящейся.

Решение. Допустим противное: предположим, что последовательность сходится и ее предел равен числу а, т. е. . Пусть натуральное число N превосходит а: N > а. При любом п > N имеем

,

что противоречит определению предела, так как при всех должно выполняться неравенство .

Вычислите пределы следующих последовательностей:

Решение. 1) Числитель и знаменатель не имеют предела, так как это неограниченные последовательности; следовательно, теорему о пределе частного непосредственно применить нельзя. Разделив числитель и знаменатель на n и применив затем теорему о пределе частного, получим

Остальные пределы вычисляются аналогично:

Примеры:

1. Написать первые четыре члена последовательности , если

2. Какая из следующих последовательностей ограничена?

1. 2,4,6,8,….

2. -1,-4,-9,-16,…

3. 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…

4. -2, 4, -8, 16,…

2. Вычислить предел последовательности:

3. Вычислить предел последовательности: )

4. Вычислить предел последовательности:

Ответы:

1. 

2. 1/3, 1/9, 1/27, 1/81,…

3. 

4. ) = 0

5. =