2.2.Примеры
1. Вычислить пять
первых членов последовательности
=
Решение. Подставив
вместо n
последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим
.
2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.
Решение. Для того чтобы число при делении на-3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности =3n+1.
3. Последовательность задана рекуррентным соотношением . Найти первые члены последовательности.
Решение. Зададим
первый член последовательности: пусть
.
Полагая
в рекуррентном соотношении n=2,
получим
При n =3,
4, 5 соответственно находим
. В
результате получаем последовательность
2, 7, 22, 67, 202, ... .
4.
Доказать,
что последовательность с общим членом
=
монотонно убывает.
Решение. Для
убывающей последовательности выполняется
неравенство
,
или
.Запишем
(
)-й
член последовательности:
Тогда
,
так как
<
при любом натуральном п.
Следовательно, данная последовательность
является убывающей.
5. Доказать, что последовательность ограничена снизу и сверху.
Решение. Очевидно,
> 1, т. е. последовательность ограничена
снизу. С другой стороны имеем
,
где
–
правильная дробь, и, следовательно,
1+
<2,
т. е. последовательность ограничена
сверху.
2.3. Предел числовой последовательности
Определение
1: Число
называется пределом
последовательности
, если
для любого сколь угодно малого
положительного числа
найдется такое натуральное число N,
зависящее от
,
что
при всех п
> N выполняется
неравенство
.
Неравенство
равносильно двойному неравенству
а-
<
<а+
.
Интервал (а-
,а+
)
называют
–
окрестностью точки
а.
Тот факт, что число а
есть предел последовательности
,
геометрически означает, что в любой
–
окрестности точки а
находятся
все члены последовательности
,
начиная
с некоторого номера, а вне её может
находиться лишь конечное число членов.
Последовательность
может иметь только один предел.
Определение 2: Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.
Если последовательность имеет пределом число а, то пишут
.
В
этом
случае говорят, что последовательность
сходится к числу а.
2.4. Теоремы о пределах
Теорема Вейерштрасса: Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Другими словами ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости.
Теорема I. Если
последовательности
и
сходятся, то
Теорема II. Если
последовательности
и 
сходятся, то
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Теорема III. Если последовательности и сходятся и предел последовательности отличен от нуля, то
2.5. Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим
последовательности
Теорема IV. Если
и, начиная с некоторого номера n,
выполняется неравенство 
,
то 
.
Теорема V. . Если
и, начиная с некоторого номера n,
справедливо неравенство 
,
то
.