3.6. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость.

Теорема: Если функция имеет конечный предел при , то ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при , т.е. если , то в окрестности точки a f(x)=A + (x), где

Теорема( обратная): если функция может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при , то эта функция имеет конечный предел при , и этот предел равен значению постоянной, т.е. если то f(x)=A + (x), где (x) – бесконечно малая функция, то _.

3.7. Теоремы о пределах

Теорема I. Если существуют пределы функций и при , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций

и :

Теорема II. Если существуют пределы функций и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

Теорема III. Если существуют пределы функций и при и предел функции отличен от нуля, то существует также предел отношения / , равный отношению пределов функций и :

3.8. Следствия

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

2. Если n -натуральное число, то

3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

при равен значению этого многочлена при х = а, т.е.

4. Предел дробно-рациональной функции

при равен значению этой функции при х=а, если а принадлежит области определения функции, т. е.

3.9. Теорема о пределе промежуточной функции

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между функциями (x) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

и
то
Доказательство. Из равенств вытекает, что для любого существуют две окрестности и точки в одной из которых выполняется т.е.
а в другой: т.е.

Пусть - меньшее из чисел и .тогда в -окрестности точки выполняются оба неравенства . И из условия

Из чего следуют неравенства или

Мы доказали, что

т.е.

Ч.т.д.

Теорему о пределе промежуточной функции иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции (x) и g(x), функция f(x) «следует за милиционерами».

3.10. Теорема о пределе монотонной функции

Теорема^ Если функция f(x) монотонна и ограничена при (или при ) то существует соответственно её левый предел (или её правый предел ).