- •1.3. Функции, способы задания, свойства
- •1.Табличный, когда значения аргумента и соответствующие значения функции заданы таблицей.
- •2.Графический, когда соответствие аргумента и функции даны в виде графика;
- •3.Аналитический, когда зависимость дана в виде формулы.
- •1.4. Основные свойства функции:
- •1.5.Основные элементарные функции и их области определения
- •Функция определена на общей области определения функций f(X) и g(X), при условии, что g(X)≠0.
- •1.6. Сложная функция
- •1.7. Обратная функция
- •Пример: Графики двух взаимно- обратных функций -синий и - зеленый.
- •Лекция № 2 Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.1. Бесконечная числовая последовательность
- •2.2.Примеры
- •2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.
- •3. Последовательность задана рекуррентным соотношением . Найти первые члены последовательности.
- •5. Доказать, что последовательность ограничена снизу и сверху.
- •2.3. Предел числовой последовательности
- •2.4. Теоремы о пределах
- •2.5. Предельный переход в неравенствах
- •2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Лекция № 3 Предел функции
- •3.1.Определение предела функции
- •3.6. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •3.10. Теорема о пределе монотонной функции
- •3.11. Некоторые обозначения
- •Примеры
- •Лекция № 4 Первый и второй замечательные пределы
- •4.1.Теорема (первый замечательный предел)
- •2) Пусть , тогда при .
- •4.2. Примеры
- •4.3. Второй замечательный предел. Число e.
- •4.4. Примеры
- •4.5. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •4.6. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях
- •1) Функция f(X) определена в точке х0 и ее окрестности;
- •2) Функция f(X) имеет предел при х→х0 ;
- •3) Предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.
- •5.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •5.3. Точки разрыва и их классификация
- •2) Если , то х0 называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.
- •5.4. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Вычислить
- •Если , то х найден, иначе идти на пункт 2.
- •6.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
- •6.3. Геометрический смысл производной
- •6.4. Основные правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования:
- •6.5. Производная обратной функции
- •6.6. Производная неявно заданной функции
- •6.7. Производная показательно- степенной функции
- •6.8. Производная функции, заданной параметрически
- •Лекция № 7 Дифференциал функции
- •7.1. Понятие дифференциала
- •7.2.Геометрический смысл дифференциала
- •3. , Тогда
- •Лекция №8 Теоремы о дифференцируемых функциях
- •8.1. Теорема Ролля.
- •Найдём производную в точке
- •8.2. Теорема Коши
- •8.3. Теорема Лагранжа
- •8.4. Правило Лопиталя
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида
- •8.5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида
- •Теорема остается справедливой и в том случае, если х ® ±¥ или х®х0±0;
- •Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.
- •Лекция № 9 Исследование функции и построение графика
- •9.1. Возрастание и убывание функции.
- •9.2. Интервалы монотонности функции
- •Теорема (необходимые условия монотонности):
- •Теорема (достаточные условия монотонности):
- •9.3. Экстремумы функции
- •Для исследования функции на экстремум, необходимо:
- •Исследовать знак производной f´(X) слева и справа от критических точек ( или исследовать знак второй производной в этих точках)
- •С помощью теорем о достаточном условии экстремума определить характер экстремума и вычислить его значение.
- •9. 4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •9.5. Асимптоты графика функции.
- •9.6. Общая схема исследования функции и построения графика.
- •4. Найдем асимптоты графика функции.
- •5 . Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:
- •6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:
Лекция № 1
Функция, ее свойства , способы задания
1.1. Некоторые простейшие логические символы:
– означает «из предложения следует предложение »;
– «предложения равносильны», т.е. из следует , из следует ;
- означает «для любого», «для всякого»;
- «существует», «найдется»;
: - «имеет место»;
1.2. Числовые промежутки, окрестность точки
Напомним, что между точками числовой оси и множествам - действительных чисел, существует взаимно- однозначное соответствие, поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка», а подмножества действительных чисел называют числовыми промежутками, или интервалами. Наиболее часто эти множества представляют собой:
интервал , т.е.
отрезок (сегмент) , т.е.
полуинтервал, закрытый слева ,
полуинтервал, закрытый справа
Эти множества будем обозначать и называть промежутками.
5) полуось, ;
Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки .
Часто рассматривают окрестности, симметричные относительно .
Опр: Интервал вида называется - окрестностью точки . Если , то выполняется неравенство , или, что то же самое . Обозначается - окрестность точки .
Если из этого интервала выколоть точку , то окрестность называется проколотой - окрестностью точки .
1.3. Функции, способы задания, свойства
Изучая явления, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные или функции).
Определение: Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной x, если они связаны между собой так, что каждому значению величины x из некоторого множества соответствует единственное вполне определенное значение величины y из множества . Записывается этот факт :
Область определения функции f обозначается D(f), множество значений: E(f).
Способы задания функции:
1.Табличный, когда значения аргумента и соответствующие значения функции заданы таблицей.
2.Графический, когда соответствие аргумента и функции даны в виде графика;
3.Аналитический, когда зависимость дана в виде формулы.
1.4. Основные свойства функции:
Определение: Функция у=f(х) называется четной, если для любого значения х и –х, взятых из области определения функции, выполняется равенство f(-x)=f(x).
Из определения следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат(Оу).
Примеры четных функций: y= , y=cos(x), y=x sin(x), y=ln , и т.д.
Определение: Функция у=f(х) называется нечетной, если для любого значения х и –х, взятых из области определения функции, выполняется равенство f(-x)= -f(x).
Из определения следует, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры нечетных функций: y= , y=sin(x), y=x cos(x), y=tg(x), и т.д.
Определение: Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое число Т>0, что f(x+T)=f(x) для всех х D(f). Наименьшее число Т, если такое существует, называется периодом функции.
Определение: Функция у=f(x) называется возрастающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее значение функции.
Т.е. если для любых (а;b), из условия
.
Определение: Функция у=f(x) называется убывающей на промежутке (а; b), если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует меньшее значение функции. Т.е. если из .
1.5.Основные элементарные функции и их области определения
Функция определена на общей области определения функций f(X) и g(X), при условии, что g(X)≠0.
Степенная функция у=хn с рациональным положительным показателем при нечетном определена на всей числовой оси, а при четном определена на интервале ;∞), (т.е. для функции , f(x)≥0).
3. Показательная функция, , a>0, a≠1, определена на всей числовой оси. При a>1 функция возрастающая, при а<1 функция убывающая.
4. Логарифмическая функция у= , а>0, а≠1, определена на интервале (0;∞). При a>1 функция возрастающая, при а<1 функция убывающая.
5. Тригонометрические функции y=sinx , y=cosx определены на всей числовой оси;
y=sinx y=cosx
y=tgx определена на всей числовой оси, исключая точки х= ;
у=ctgx определена на всей числовой оси, исключая точки х= .
6. Обратные тригонометрические функции
y=arccosx и y=arcsinx определены на отрезке [-1;1] ;
y=arctgx и y=arcctgx определены на всей числовой оси.