3. , Тогда

4. ,

5.

7.5.Дифференциал сложной функции

Теорема: Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (если обе функции дифференцируемы)

Доказательство:

, пусть ,

По правилу диф. сложной функции:

. Умножим на обе части:

Замечание: здесь - функция, а - независимая переменная. Отсюда следует свойство инвариантности дифференциала: Дифференциал равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

Таблица дифференциалов

, если y=f(x)	если
	, n≠-1

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение. Второй производной, или производной второго порядка, называется производная от первой производной. Обозначается . Для обозначения второй производной используются символы:

Определение. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала.

, т.к. , то - постоянная по отношению к .

, т.е.

Замечание: Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.

Лекция №8 Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение

8.1. Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)= f(b), то найдётся, хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, M и m.

Если m=M, то функция f(x) постоянна на и, следовательно, её производная в любой точке отрезка .

Если , то функция достигает, хотя бы одно из значений M или m во внутренней точке с интервала , т. к. f(a)= f(b).

Пусть, например, функция принимает значение M в точке , т. е. f(c)=M. Тогда для всех выполняется соотношение

Найдём производную в точке

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

В силу условия верно неравенство . Если (т. е. справа от точки x=c), то и поэтому

Если, то и

Таким образом,

В случае, когда f(c)=m, доказательство аналогичное. Ч.т.д.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y=f(x) найдётся точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ox (см. рис.1 и 2). На рис. 3 таких точек две.

8.2. Теорема Коши

Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причём для , то найдётся хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

_.

Доказательство. Отметим, что , т. к. в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка c, такая, что , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

_.

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , т. к. является линейной комбинацией функций f(x) и (x); на концах отрезка она принимает одинаковые значения .

На основании теоремы Ролля найдётся точка такая, что . Но , следовательно,

_{Отсюда следует}

и _Ч.т.д.