9.6. Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить тип функции (четность, нечетность, периодичность ).

3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы, на которых функция сохраняет знак.

4. Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) наклонные.

5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и

убывания функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример № 1:

Построить график функции

1. Областью определения функции является множество всех

действительных чисел, кроме х=1 ( в этом случае знаменатель

функции равен нулю).

2 . Для определения типа функции найдем значение

, следовательно функция

не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

3. Так как уравнение х²+1=0 не имеет действительных корней то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).

Определим интервалы знакопостоянства функции:

_ +

|

y(x) ниже оси Ох выше оси Ох х

4. Найдем асимптоты графика функции.

а). Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва х=1:

Следовательно прямая х=1 является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:

Из этого вытекает, что график функции имеет наклонную асимптоту у=х+1.

5 . Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:

y'(x)=0 в точках

Исследуем знак производной: y' +   +

х

у 1

Получаем, что функция

возрастает на промежутках:

убывает на промежутках:

Точки экстремума:

у’

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

Так как у’’(х) в нуль не обращается, то критических точек нет.

Исследуем знак второй производной:

у"   + +

1 х

Следовательно

на интервале (-∞; 1) график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале (1; +∞) – выпуклостью вниз (вогнутый).

y

х

Пример № 2: Исследовать функцию и построить ее график: .

1) при х , так как D=1-4=-3<0.

;

2) найдем точки пересечения графика с осями координат:

x=0, y=1;

y=0, x=- 0,5;

3) - функция общего вида;

4) функция непрерывна на , точек разрыва нет;

5) вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

,

.

Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота;

6) исследуем функцию на возрастание и убывание.

;

-- критические точки.

-- точка минимума; y_min≈ ,

-- точка максимума; .

7)

Критические точки второго рода найдем из уравнения: ;

;

-- абсциссы точек перегиба графика функции.

-- ординаты точек перегиба графика функции.