13.Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.

По определению моментом импульса системы точек относительно центра называют векторную сумму моментов импульса всех точек системы относительно того же центра:

Д ля каждой точки системы можно записать уравнение моментов в виде:

г де: ― сумма моментов внешних сил, приложенных к k-й точке, а ― сумма моментов внутренних сил, приложенных к k-й точке.

Суммируя уравнения моментов для всех точек системы, получим:

Учитывая, что векторная сумма моментов всех сил равна нулю,

Совершенно аналогично выводится уравнение моментов относительно произвольной оси:

г де: ― сумма моментов внешних сил относительно произвольной оси Z.

14. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил

р авнялась . Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью .

Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью .

П рименим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:

От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной , имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость

направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.

Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со скоростью и малой массы dM, двигавшейся со скоростью . К моменту времени t+dt малая масса попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое движется со скоростью . Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна  , основной закон динамики записывается для системы в виде:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:

и ли

г де: ― относительная скорость добавляющейся массы.

Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила  совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.

15. Первое соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:

и ли:

Интегрируя, получим:

Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка , когда ,а . Тогда:

Подставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива , содержащегося в нём: . В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.

Второе соотношение Циолковского.

Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя. По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом полезная работа определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся затраченная работа ― изменением кинетической энергии всей системы.

Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её . В момент времени t+dt система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью

d, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью .

Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:

Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:

С учётом этого:

И спользуя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:

Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от до ), получим значение полной работы, совершённой двигателем:

Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:

Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям», согласно которому:

П олезная работа на всём активном участке траектории равна:

Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:

Тогда:

Согласно (109):

Подставив это значение в (110) получим:

По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:

Учитывая, что и , запишем окончательный вид второго соотношения Циолковского: