- •1. 1. Определение положения точки в пространстве.
- •1.2.Вектор перемещения. Для определения перемещения точки в пространстве вводят вектор перемещения.
- •2.1 Вектор скорости.
- •2.2 Вектор ускорения.
- •3.1 Кинематика твердого тела.
- •3.2. Число степеней свободы .
- •4 .Вращательное движение тел .
- •5. Движение отдельных точек вращающегося твердого тела.
- •6.Плоское движение твердого тела.
- •7.1. Сила. Определения:
- •7.2. Сложение сил и разложение силы на составляющие.
- •7.3. Проекции силы на плоскость и ось.
- •8.1. Статическое и динамическое проявление сил.
- •8.3. Принцип независимости действия сил.
- •9.1 Момент силы относительно произвольного центра.
- •9.2. Момент силы относительно произвольной оси.
- •9.3. Момент силы оТносительно координатной оси.
- •10.Основной закон динамики. Уравнение моментов для тела движущего по окружности
- •Уравнение моментов относительно произвольного центра.
- •11.Движение тел в поле центральных сил.
- •Считая массу планеты постоянной, можно далее записать:
- •12. Основной закон динамики системы материальных точек.
- •13.Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.
- •14. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.
- •16.1 Относительность механического движения.
- •16.2. Галилеевы преобразования координат и закон сложения скоростей.
- •16.3. Принцип относительности Галилея, его физический смысл.
- •17.1 Постулаты Эйнштейна.
- •17.2. "Радиолокационный" метод (метод коэффициента "k ").
- •19. 1Сравнение поперечных размеров тел.
- •19.2 Эффект "сокращения" длин.
- •20.1 Преобразования Лоренца.
- •20.2. Интервал. Инвариантность интервала.
- •21.1 Релятивистская масса, релятивистский импульс.
- •21.2Релятивистское уравнение движения.
- •22.1. Силы инерции.
- •22.2. Силы инерции во вращающихся системах отсчета.
- •22.3. Силы инерции Кориолиса.
- •22.4. Зависимость веса тел от географической широты местности.
- •23. Силы трения. Сухое трение. Силы трения скольжения.
- •23.2. Силы трения качения.
- •24. 1Вязкое трение
- •24.2 Движение тел в сопротивляющейся среде.
- •25.1 Упругие силы.
- •25.2Продольное сжатие и растяжение. Закон Гука.
- •26.1Деформация сдвига
- •26.2Деформация кручения.
- •27. Закон всемирного тяготения.
- •28.1 Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, гравитационный потенциал.
- •28.2Связь напряжённости и потенциала поля.
- •29.1 Работа и энергия
- •29.2Работа силы тяжести.
- •29.3Работа упругих сил.
- •30 .1 Работа и кинетическая энергия.
- •30.2Работа центральных сил.
- •30.3Потенциальная энергия.
- •30.3Нормировка потенциальной энергии, закон сохранения энергии.
- •31.1Момент инерции твёрдого тела.
- •31.2Теорема Штейнера.
- •32. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.
- •1.Поступательное движение
- •2.Вращательное движение
- •3.Плоское движение тела
- •33.1 Гироскопы.
- •33.2 Прецессия волчка.
- •34.1Давление покоящейся жидкости.
- •36. Уравнение поверхности уровня
- •37. Закон паскаля
- •38. Сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
- •39. Закон архимеда Тело погружено в жидкость (рис. 73).
- •На его поверхность со стороны жидкости действуют силы давления, выделим в теле объем малого сечения, ось которого вертикальна. На верхнюю и нижнюю грани этого объема действуют силы давления:
- •40. Механика движущихся жидкостей.
- •40.1. Введение
- •Определения
- •40.2. Расход жидкости
- •40.3. Уравнение неразрывности струи жидкости
- •41 .1Уравнение бернулли
- •41.2.Формула торичелли
- •42.1Ламинарнре и турбулентное течение жидкости. Число рейнольдса.
- •42.2. Формула пуазейля
- •43.1Колебательное движение
- •44. Собственные колебания
- •45. Затухающие колебания
- •46. Вынужденные колебания
- •47. 1.Математический маятник
- •47.2 Пружинные маятники
- •48. Геометрическое представление колебаний.
- •49. Сложение одинаково направленных колебаний.
- •51. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
- •52. Гармонический анализ периодических движений.
- •53. Гармонический анализ периодических движений.
- •55.1. Упругие волны.
- •55.2. Распространение упругих возмущений в твёрдом теле.
- •55.3. Отражение упругих импульсов от границы раздела сред.
- •56.1.Уравнение плоской волны, движущейся в определённом координатном направлении.
- •56.2. Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении в пространстве.
- •57.1. Продольные волны в твёрдом теле. Волновое уравнение.
- •57.2. Упругие волны в газах. Волновое уравнение.
- •58.1. Интерференция воли.
- •58.2.Стоячие волны.
- •54. Колебания треугольной формы
46. Вынужденные колебания
Вынужденными называются колебания системы, возникающие под воздействием внешней силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Основные особенности вынужденных колебаний рассмотрим на примере уже известной колебательной системы при условии, что на колеблющееся тело кроме сил упругости и вязкого трения действует ещё внешняя периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:
По основному закону динамики можно составить дифференциальное уравнение движения:
(324)
Здесь, как и ранее:
и .
Правая часть уравнения (324), не содержащая искомой переменной х, отлична от нуля. Такие уравнения называются неоднородными (или уравнениями с правой частью). Как известно из теории дифференциальных уравнений, решение неоднородного уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и какого-либо частного решения всего неоднородного уравнения в целом. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, получим, если правую часть уравнения (324) положить равной нулю, т.е. получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, решение которого уже найдено. Что же касается частного решения всего неоднородного уравнения в целом, то оно может быть представлено гармонической функцией, изменяющейся с той же частотой, что и сама внешняя сила. При частоте вынуждающей силы, равной нулю, т.е. при действии постоянной внешней силы, тело отклоняется от положения равновесия и, когда сила упругости уравновесит внешнюю силу, движение прекратится. При бесконечно большой частоте вынуждающей силы тело, обладая массой (инертностью), не успевает получить заметное смещение за период колебаний. При промежуточных значениях частота амплитуда отлична от нуля, следовательно, амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. По том же соображениям фаза колебаний тела также должна зависеть от частоты вынуждающей силы и отличаться от фазы самой силы.
Первой частью решения уравнения (324) для однородного уравнения (затухающие колебания) через достаточно большой промежуток времени можно пренебречь. Поэтому мы будем рассматривать только вторую часть решения, т.е. частное решение уравнения (324) в виде гармонической функции.
Если гармоническая функция действительно является решение всего неоднородного уравнения, то после её подстановки в уравнение мы должны получить тождество
Как легко заметить, тождество будет выполняться при соблюдении следующих условий:
(325)
(326)
Из условия (326) получаем выражение для начальной фазы:
(327)
Возводя в квадрат и складывая (325) и (325), получим выражение для амплитуды колебаний
(328)
Выражения (327) и (328) показывают, что и начальная фаза колебаний, и их амплитуда зависят от частоты вынуждающей силы. При этом амплитуда при бесконечно большой частоте обращается в нуль, а при постоянной силе (1=0) принимает некоторое постоянное значение, численно равное отклонению от положения равновесия. Имеет смысл более подробно изучить зависимость амплитуды колебаний от частоты. Очевидно, что экстремальные значения амплитуда будет принимать в тех случаях, когда экстремальным будет подкоренное выражение в знаменателе дроби. Для экстремальных значений подкоренного выражения производная от него по частоте должна обращаться в нуль:
Приведенному условию соответствует два значения частоты колебаний:
Чтобы определить, при каких значениях частоты само подкоренное выражение принимает максимальное или минимальное значение, надо определить знак второй производной при указанных значениях частоты. Вторая производная от подкоренного выражения по частоте равна
После подстановки найденных значений частоты в выражение второй производной получаем:
Учитывая, что в реальных механических колебательных системах вязкость среды по отношению к собственной частоте мала, получаем, что при подстановке первого значения частоты вторая производная принимает отрицательное значение, а при подстановке второго - положительное. Это означает, что первое значение частоты соответствует минимуму амплитуды колебаний, а второе - максимуму.
Явление возрастания амплитуды колебаний при некоторых значениях частоты вынуждающей силы называется резонансом. Соответствующее значение частоты: называется резонансной частотой. Резонансная амплитуда колебаний принимает значение:
(329)
а соответствующее значение начальной фазы колебаний (смещение по фазе самих колебаний относительно вынуждающей силы:
(330)
Как видно из выражений (329) и (330), при отсутствии трения ( n = 0) амплитуда колебаний обращается в бесконечность, а колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на /2.
В реальных механических колебательных системах вязкость среды хотя и мала, но всё же не равна нулю. Поэтому амплитуда колебаний при резонансе принимает конечные значения, тем меньшие, чем больше коэффициент вязкости. На рис.84 представлены резонансные амплитудные характеристики, т.е. зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы при различных значениях вязкости:
8
Начальная фаза колебаний также зависит от частоты вынуждающей силы. Графики зависимости начальной фазы колебания от частоты вынуждающей силы, называемые фазовыми резонансными кривыми, для различных значений вязкости приведены на рис.85.
8
Из полученных результатов не совсем очевидным является то, что при резонансе колебание относительно вынуждающей силы смещено по фазе на /2. На первый взгляд кажется, что смещение и вынудающая сила должны совпадать по фазе. На самом деле работа силы будет положительной (увеличивать энергию колебаний) в том случае, если сила будет совпадать по фазе не со смещением, а со скоростью. В противном случае на отдельных участках траектории сила будет направлена против движения тела и уменьшать его скорость и, соответственно, максимальное смещение.