42 Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.

Одним из основных свойств, характеризующих функцию, является скорость ее изменения. Пусть аргумент х функции f(x) получил приращение Δх, т.е. начальное значение аргумента равно х, а конечное х+Δх. Вычислим приращение функции, обусловленное приращением аргумента:

Δf(х) = f(x + Δх) - f(x) (1)

Приращение функции или аргумента – алгебраическая величина, которую нельзя отождествлять с «увеличением». Действительно, если f(x+Δх)<f(x), то Δf(x)<0 и приращение нашей функции отрицательно.

Средняя скорость изменения функции на участке от х до х+Δх, вычисляется по формуле:

(2)

Замечание: Средняя скорость изменения, как характеристика функции обладает существенным недостатком, проилюстрируем этот недостаток на примере. Пусть функции f₁(x) и f₂(x) получили одинаковые приращения при изменении аргумента от х до х+Δх, следовательно, одинаковыми будут и средние скорости изменения функций f₁ и f₂ на этом отрезке. Между тем, на практике может быть, что функция f₂(х) меняется гораздо быстрее, резче, чем f₁ (х).

43 Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x₀ , f ( x₀ ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x₀ )  имеет вид:

y = f ’( x₀ ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x₀ ) = f ’( x₀ ) · x₀ + b ,

отсюда,  b =  f ( x₀ ) – f ’( x₀ ) · x₀ , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x₀ ) +  f ’( x₀ ) · ( x – x₀  )

44 Связь между непрерывностью и существованием производной.

Если функциядифференцируема в т. х, то она не-

прерывна в этой точке

Докажем выполнение условия 2) из 0.1 (п. 8.1):

Следствие: В точке разрыва функция не может иметь производную. Обратное к теореме утверждение неверно, т.е. из непрерывности функциив т. х не следует существование производной в т. х. Например,непрерывна в т. х = О, график функции не имеет касательной в точке с абсциссой х = 0 и функция не дифференцируема в т. х = 0 (рис. 9.2).

Рис. 9.2

45) Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного функций.

Основные правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями: 1. 2. 3. 4.