7. Класс элементарных функций
Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций (полиномиальная функция, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.
Другими словами,
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
многочлен,
рациональная,
степенная,
показательная и логарифмическая,
тригонометрические и обратные тригонометрические.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.
8. Суперпозиция функций.
В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.
Пусть имеются две функции: z = h(y) и y = g(x), причем область значений функции g принадлежит области определения функции h. Тогда функция z = h(g(x)) называется композицией функций h и g, или сложной функцией, или суперпозицией функций. Аналогично можно рассматривать композицию любого конечного числа функций.
Пример
Функции у =
5sin2(3x –
1); y =
5sin3x; y = x3x; y =
ln(ctgx)
– композиции различных элементарных
функций.
В математическом анализе и
теории вероятностей композицией
(свёрткой)
называют и другие способы образования
из двух функций, f(x) и g(x),
третьей, h(x),
например:
Композицией двух преобразований называют последовательное выполнение этих преобразований, а также полученное в результате этого итоговое преобразование. Если в результате первого преобразования фигура Ф1 перешла в фигуру Ф2, а в результате второго преобразования фигура Ф2 перешла в фигуру Ф3, то композиция этих преобразований – преобразование, которое переводит фигуру Ф1 в фигуру Ф3.
Вообще термин «композиция» употребляют для обозначения любой операции, которая по определенному правилу ставит в соответствие паре элементов третий элемент.
Происхождение термина – латинское слово composition (составление).
9. Последовательность - функция натурального аргумента.
1. Последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел, обозначаемое а1, а2,... , аn,... , или кратко
Другое определение последовательности — функция натурального аргумента.
10. Бесконечно малые последовательности
Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если
|
|
Оределение. Последовательность
{xn}
называется бесконечно
малой, если 
,
то есть если 
.
Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.
1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.
2. Бесконечно малая последовательность ограничена.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.