- •1 Билет. Понятие множества , элемента множества.
- •2 Билет. Конечные и бесконечные множества.
- •3 Билет. Свойства операций объединения и пересечения множеств.
- •4 Билет. Прямое произведение множеств.
- •5 Билет. Бинарные отношения.
- •6. Функция как закон соответствия между множествами
- •7. Класс элементарных функций
- •8. Суперпозиция функций.
- •9. Последовательность - функция натурального аргумента.
- •10. Бесконечно малые последовательности
- •11 Билет. «»
- •12 Билет. «»
- •21 Билет. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности:
- •22.Признаки существования предела последовательности.
- •23. Замечательный предел типа «е».
- •24. Предел функции в точке.
- •25. Определение предела функции на языке языке «ε» — «δ».
- •31. Теоремы об арифметических свойствах пределов.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций
- •33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.
- •34. Определение непрерывности функции в точке.
- •41 Определение производной.
- •42 Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.
- •43 Геометрический смысл производной.
- •44 Связь между непрерывностью и существованием производной.
- •45) Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного функций.
- •46 Производная сложной функции
- •48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.
- •49 Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке.
- •50 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •51.Понятие о дифференциале функции.
- •52.Геометрический смысл дифференциала функции.
- •53.Связь дифференциала и производной функции.
- •54.Свойства дифференциала.
- •55.Таблица дифференциалов.
- •60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
- •61 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
- •62 Задача нахождения площади криволинейной трапеции.
- •63 Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •64 Производная определенного интеграла по верхнему пределу.
- •64.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •69. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •70. Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •71. Интеграл вероятностей (Пуассона).
32. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.
Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.
Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).
4.Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.
33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.
.
Для доказательства первого предела используется неравенство
, |
верное для (неравенство sin x < x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x < tg x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используется монотонная и ограниченная последовательность
34. Определение непрерывности функции в точке.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если предел
,
и непрерывной слева в точке xo, если предел
.
Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
35.Непрерывность функции на отрезке.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О[a, b]
Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0. (теорема Больцана-Коши).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX.
Теорема 4. Если функция непрерывная на отрезке,принимает в какой-то точке этого отрезка положительные(отрицательные) значения,то имеется некоторая окрестность этой точки,во всех точках которой функция тоже положительна(отрицательна).
Производная функции
41 Определение производной.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно малому).