Математический анализ

Билет 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Случай постоянных пределов интегрирования: I(y) = $<a, b>f(x, y)dx. Т1. Пусть f(x, y) Є C([a, b] x [c, d]). Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: f(x, y) – равномерно непрерывна на [a, b] x [c, d]  для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0: для любых y1, y2 Є [c, d]: |y1 – y2| < δ для любого x Є [a, b] верно |f(x, y1) – f(x, y2)| < eps/(b-a)  |I(y1) – I(y2)| <= $<a, b>e/(b-a)dx = eps, те равномерно непрерывна. ЧТД. Т2 интегрируемость. Пусть f(x, y) Є C([a, b]X[c, d]), тогда для любого t Є [c, d] $<c, t>I(y)dy = $<a, b>dx$<c, t>f(x, y)dy. Док-во: фиксируем t. Через равенство интеграла по области повторному. Т3 (дифференцируемость) Пусть f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b]x[c, d]). Тогда I(y) – диф-ма по y, причем I’(y) = $<a, b>df(x, y)dx/dy. Док-во: введем K(y) = $<a, b>df(x,y)/dydx. Рассмотрим $<c, t>K(t) = $<a, b>dx$<c, t>df(x, y)dy/dy = $<b, a>(f(x, t) – f(x, c)dx = I(t) – I(c), те раз d/t($<c, t>K(y)dy = K(t)) ЧТД. Случай переменных пределов интегрирования $(y) = $<g(y), j(y)>f(x, y)dx. Т1 непрерывность. Пусть f(x, y) Є C([a, b] X [c, d]), выполнены условия g(y), j(y) Є C([c, d]), a <= g(y) <= j(y) <= b. Тогда I(y) Є C[c, d]. Док-во: I(y) = $<g(y0), j(y0)>f(x, y)dx + $<j(y0), j(y)>f(x, y)dx - $<g(y0), g(y)>f(x, y)dx = I1(y) + I2(y) – I3(y). I1 – по теореме для постоянных lim<yy0>I1(y) = I1(y0) = I(y0). По т о среднем I2(y) = f(ξy, y)(j(y) – j(y0)) при y0 f(ξy, y)  f(j(y0), y0), j(y) – j(y0)0. ЧТД. Т дифференцируемость. Пусть функция f(x, y), df(x, y)/dy Є C([a, b] x [c, d]) и a <= g(y) <= j(y) <= b, g(y), j(y) – диф-мы в [c, d]. Тогда I’(y) = $<g(y), j(y)>df(x, y)/dydx + g’(y)f(b(y), y) – j’(y)f(a(y), y). Док-во: разбиваем на 3 интеграла как в предыдущей теореме. I1’ по Т2. I2’(y0) = [I2(y) – I2(y0)]/[y – y0] = 1/(y – y0)$<j(y0), j(y)>f(x, y)dx = т о среднем устремляем, получаем ЧТД.

Билет 2. Признаки равномерной сходимости несобственных изп (Вейештрасса, Дирихле-Абеля, Дини).

I(y) = $<a, inf>f(x, y)dx (*) – интеграл первого рода. I(y) = $<a, b>f(x, y)dx имеет особенность в одной из точек a, b – второго рода. Будем рассматривать первого рода. (*) сходится равномерно на Y, если для любого eps > 0 существует A(eps) >= a: для любого R >= A(eps), любого y Є Y |<R, inf>f(x, y)dx| < eps. Критерий коши: (*) сходится равномерно на Y  для любого eps > 0 существует A(eps) >=a: любых R1, R2, любого y Є Y |$<R1, R2>f(x, y)dx| < eps. Док-во: (*) сходится равномерно  для любого eps > 0 существует A(eps) >= a, любого y Є Y |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps/2  расписать интеграл $<R1, R2> как $<R1, inf> - $<R2, inf> чтд. Коши - сходится: фиксируем y0 для него сходится из критерия коши для неопределенных интегралов, значит для R1 > a любого y0 $<R1, inf>f(x, y0)dx существует, значит R2 можем устремить к бесконечности и предел будет существовать. ЧТД. Признак Вейештрасса: пусть f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R > a и y Є Y. Если для любого x > a, y Є Y |f(x, y)| > h(x) и $<a, inf>h(x)dx сходится  (*) – сходится равномерно. Док-во по критерию коши (признак только для абсолютно сходящихся). Признак Дини: пусть f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, +inf) x [c, d] и для любого y Є [c, d] существует $<a, inf>f(x, y)dx = I(y), причем I(y) Є C[c, d]. Тогда (*) сходится на отрезке [c, d]. Док-во: Рассмотрим In(y) = $<a, a+ n>f(x, y)dx тогда: 1) In(y) Є C[c, d] по Т1 2) lim<ninf>In(y) = I(y), I Є C[c. d]. 3) In(y0) неубывающая на [c, d] в любой y0. 4) [c, d] – компакт  выполнены все 4 условия признака Дини для функциональной последовательности In(y)  In(y) равномерно сходится к I(y). Те для любого eps > 0 существует N(eps): для любого n >= N(eps), y Є [c. d] I(y) – In(y) = $<a +n, inf>f(x, y)dx < eps. Т.к. f(x, y) >= 0, то для любого R >= a + N(eps) |$<R, inf>f(x, y)dx| < eps. ЧТД. (**) $<a, inf>f(x, y)g(x, y)dx. Признак Дирихле-Абеля: пусть (1) {f(x, y) инт-ма по x в собственном смысле на [a, R], для любого R >= a, y Є Y, g(x, y) монотонна по x, y Є Y}. Тогда для равномерной сходимости (**) на Y достаточно выполнения одной из двух пар условий. 1 {$<a, R>f(x, y)dx} равномерно ограничена (сущесвтует M большее для всех y, R) g(x, y) равномерно сходится к 0 на Y при x inf. 2 $<a, inf>f(x, y)dx сходится на Y, g(x, y) равномерно ограничена на [a, inf) x Y. Док-во: 1. Для любых R1, R2, ξy, |$<R1, ξy>f(x, y)dx| <=2M, |$<ξy, R2>f(x, y)dx| <= 2M. Для любого eps > 0 найдется A(eps): для любых R1, R2 >= A(eps), любых y Є Y |g(R1, y)| < eps/(4M), |g(R2, y)| < eps/4M. Из т о среднем |$<R1, R2>f(x, y)g(x, y)dx| <= 2M * eps/(4M) * 2 = eps  (**) сходится по Коши. 2. Для любых R1, R2 >= a |g(R1, y)| < M, |g(R2, y)| < M. Для любых eps > 0 существует A(eps) >= a: для любых R’, R’’ > = A(eps), для любых y Є Y | $<R’, R’’>f(x, y)dx| < eps/(2M). Используем т о среднем. ЧТД. (Под т о среднем имеется в виду формула Бонне $<a, b>f(x)g(x)dx = g(a)$<a, ξ>f(x)dx + g(b)$<ξ, b>f(x)dx).