1	Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное условие сх-ти рядов с неотр. членами.

. - ЧР (1). Член ряда, n-ая частичная сумма.

ЧР сх-ся, если посл. S_n его част. сумм сх-ся: - сумма ряда. Не сущ. – расходится.

S-S_n=r_n – n-ый остаток ЧР. Пр.: q^k-1, e^x.

Т1. Крит. Коши. Для того чтобы ЧР(1) сх-ся  люб. ε>0 сущ N: люб n>N, люб p из R: .

Cл. Для того чтобы (1) сх-ся необх., чтобы U_k=о(1) k→∞. (из теор при р=1). Пр. ∑1/k - гарм. ряд.

Зам1. Добавл. или отбрас. конечн. числа слаг в ЧР не влияет на его сх-ть или расх-ть. (=> из крит для: n>>1 эти слаг не попадут в ). Зам2. Для люб С<>0 ряды и сх-ся или расх одновременно.

Т2. Для того чтобы ЧР с неотр членами сх-ся чтобы посл {S_n} его част сумм была огр. Д-во. <=: ряд сх-ся→{S_n} сх→{S_n} огр. =>: {S_n} огр, p_k>=0→S_n не убыв→{S_n} сх→ряд сх-ся.

2	Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

∑p_k (1), ∑p_k' (2) p>=0

1 пр сравнения. Пусть, начиная с некот номера n₀, вып неравенство p_k<=p_k', k>=n₀ (3)=> из сх (2)→сх (1); из расх (1)→расх (2). Д-во. 1. Пусть (3) вып для люб k →S_n<=S_n'; {S_n} огр→{S_n'}огр. 2. от противного из 1.

Зам. Верно и для p_k<=сp_k'. Пр. ∑1/k^a, a<1.

2 пр сравнения. p_k>0 k>=k₀. Пусть сущ конечный и <>0 lim(p_k'/p_k)=L => (1), (2) сх и расх одновр. Д-во. сущ lim(p_k'/p_k)=L >0 =>люб ε>0 сущ N>k₀: люб k>=N L-ε<p_k'/p_k<L+ε, ε>L=>*p_k=>из Т1.

3 пр сравнения. p_k, p_k' >0 k>=k₀. Пусть p_k+1/p_k<=p_k+1'/p_k' люб k>=k₀. Тогда сх(2)=>сх(1), расх(1)=>расх(2). Д-во. Пусть верно для люб k. Перемножим нер-ва k от 1 до n-1: pn/p1<=pn'/p1'→*p1→Т1.

∑p_k (1) сравн с ∑q^k-1 q (0;1) и ∑1.

Пр. Коши. 1. Пусть <=q<1 ( >=1) люб k>=k₀>=1 =>(1) сх (расх). 2. Пусть сущ lim =L => L<1 →(1) сх, L>1 →(1) расх. Д-во. 1. <=q<1→p_k<=q^k, q (0;1); >=1 →p_k не→0. 2. Расписываем предел, L<1→0<ε<1-L, q=L+ε→п1; L>1→ε=L-1→п1.

Пр. Даламбера. p_k>0,k>=k₀. 1. Пусть p_k+1/p_k<=q<1 (p_k+1/p_k>=1) люб k>=k₀>=1 =>(1) сх (расх). 2. Пусть сущ lim(p_k+1/p_k)=L => L<1 →(1) сх, L>1 →(1) расх. Д-во. 1. p_k+1/p_k<=q=q_k+1/q_k, q (0;1) →3 пр сравн.; p_k+1/p_k>=1 →p_k не→0. 2. Расписываем предел, L<1→0<ε<1-L, q=L+ε→п1; L>1→ε=L-1→п1.

Зам1. <=q<1 нельзя заменить на <1 (∑1/k). Зам2. При L=1 признаки не работают. (∑1/k и ∑1/k²).

Зам. Обобщ. Т1 и Т2. Верхний предел <1 =>сх. Д-во. <L+ε, ε=(1-L)/2→q=L+ε<1→из п2.

Утв. Коши сильнее Даламбера. Сущ lim(p_т+1/p_т)=L => сущ lim =L. Обратное не верно.

Лемма. 1. a_n→a => (a₁+…+a_n)/n→a. 2. a_n>0, a_n→a => →a. Д-во. 1. люб. ε>0 сущ N: люб n>N |an-a|<ε/2. (a₁+…+a_n)/n-a=((a₁-a)+…+(a_N-a))/n+((a_N+1-a)+…+(a_n-a))/n<ε люб n>=N₁, т к при дост большом N₁ певая дробь <ε. 2. ln непр =>lna_n→lna; п1, ln =(lna₁+…+lna_n)/n→lna.

Д-во. →L. Пр. .

Пр Коши-Маклорена. Рассм невозр f(x)>=0 на x>=1. Тогда для сх-ти ЧР  сх-сь числ посл {a_n}, , т.е. сх-ся . Д-во. Фикс k>=2 и рассм x [k-1,k]; f(x)↓→f(k)<=f(x)<=f(k-1); f(x) монот, огр →инт-м на [k-1,k] и суммируем по k [1,n]. =>S_n-f(1)<=a_n<=S_n-1. {a_n} неуб=> она сх-ся  огр., ЧР сх-сяогр {S_n}, а их огр одновременна.

Зам. [1,∞)→[m,∞), m – натуральное, , . Пр. , .

3	Теоремы Коши и Римана о перестановке членов в числовых рядах.

Абс сх-ся ЧР. Утв. ЧР сх-ся абс => он сх-ся. (расписать крит Коши). Усл сх-ся ЧР.

Переместительное св-во. Пр. ∑(-1)^k-1/k (перест члены тройками, H_n=lnn+c+a_n→S'=1/2*S).

Т. Римана. Пусть ЧР сх-ся усл, тогда для любого L можно так перест слагаемые ЧР, что вновь получ ряд будет иметь S=L. Д-во. p_k – неотр члены, q_k – модули отр членов в том же порядке.

Утв. Чисел {p_k}и{q_k} беск много (иначе ЧР сх-ся абс). P≈∑p_k, Q≈∑q_k.

Утв. P,Q – расх. Д-во. S_n=P_n-Q_n. От противного: P сх-ся→Q_n=S_n-P_n→Q сх-ся→|ЧР|=P+Q →ЧР сх-ся абс.

И для Р, и для Q после удал конечн числа слаг из ост слаг можно выбрать столько, что их сумма > люб числа.

Фикс L. Построим ∑U'_k: (ровно необход кол-во) pk →S>L, qk→S<L и т.д. (войдут все члены ЧР, т.к. на каждом шаге добавл хотя бы одно слаг).

∑U'_k=L? S'_n из последовательных групп полож и отр слаг. S'_n оканч заверш группой→|S'_n-L|<=p_kl – последнего слаг в группе; S'_n оканч незаверш группой→посл слаг в предпосл группе => д-жем, что посл последних слаг б/м: p_k, q_k – б/м (необх усл сх-ти исх ЧР)→{p_ki,q_kj} – б/м. => S'_n→L.

Зам. L→+- ∞ - верно.

Т. Коши. Пусть ЧР сх-ся абс, тогда люб ряд, получ из данного путем некот перест слаг сх-ся абс и имеет ту же сумму. Д-во. ЧР сх-ся абс => люб ε>0 сущ N₀: =ε/2. ∑U'_k получен из исх путем перест слаг.

Д-ть: 1. ∑U'_k сх-ся и имеет сумму S, 2. он сх-ся абс. 1. Фикс N настолько большим, что все первые N₀ слаг содерж в S'_n (n>=N). люб n>=N |S'_n-S|<=|S'_n- |+| -S|< + <ε. 2. аналогично п1.

4	Признаки сх-ти произвольных числовых рядов.

ЧП {V_k} наз посл с огр изменениями, если сх-ся ЧР . Пр. V_k=k, V_k=1/k, V_k=(-1)^k-1/k.

Утв1. Если {V_k} имеет огр измен, то она сх-ся. Д-во. ЧР сх-ся=>сх-ся и без модулей=>S_n=V_n+1-V₁→S.

Утв2. Всякая монот и огр посл имеет огр измен. Д-во. V_n→V. ЧР: S_n= = = =|V_n+1-V₁|→|V-V₁| => S_n сх-ся.

Утв3. Для того чтобы {V_n} имела огр измен  чтобы общий член V_n можно было представить в виде разности двух неуб огр посл V_n=U_n-W_n.

Тождество Абеля (преобразования). {U_k}, {V_k}, S_n= ,S₀=U₀=0, n,p : . Д-во. U_k=S_k-S_k-1,

заданному.

Рассмотрим (1),S_n= .

1 пр. Абеля. Если {S_n} огр и {V_k} - б/м посл с огр измен, то (1) сх-ся. Д-во. М=const>0: |S_n|<=M, n. ε>0 N: k>N |Vk|<ε/(4M). ε>0 N: n>N, p <ε/(2M). Тожд Абеля→ <ε, n→(1) сх-ся.

2 пр Абеля. Если сх-ся и {V_k} - посл с огр измен, то (1) сх-ся. Д-во. {S_n} огр → М=const>0: |S_n|<=M, n. S: =S. V: V_k→V. ε>0 N: n>N, p <ε/(2M). Тожд Абеля→{S_n+pV_n+p-S_nV_n+1→SV-SV=0}→ <ε, n→(1) сх-ся.

Пр. Дирихле-Абеля. Если {S_n} огр и {V_k} – невозр б/м посл, то (1) сх-ся. Д-во. {V_k} сх-ся→огр, монот => {V_k} с огр измен. 1 пр Абеля.

Пр. Лейбница. Рассм знакоперем ряд , p_k>0, {p_k} – невозр б/м посл. Такой ряд сх-ся. Д-во. U_k=(-1)^k, V_k=p_k, пр Дирихле-Абеля.

5	Арифметические операции над сх-ся ЧР. Теорема Мертенса.

Рассмотрим сх-ся ряды =V, =U, u_k,v_k R, част суммы V_n,U_n. (1)

Т1. Если ряды (1) сх-ся , V,U, то сх-ся и его сумма V+-U. Д-во. .

Т2. Если ряды (1) сх-ся абс, V,U, то ряд, составленный из всевозм произвед вида u_k*v_l, k,l N, занумерованных в произв порядке, сх-ся абс и его сумма VU. Д-во. 1. Абс сх-ть. w_k=u_m*v_l, .

p – наиб из номеров k и l, вход в S_n. S_n<=(|u₁|+…+|u_p|)(|v₁|+…+|v_p|)→{ , - огр}→{S_n} огр→ сх-ся. 2. =UV. Ряд сх-ся абс →его слаг можно переставлять – сумма не изменится→W_n=(u₁+…+u_n)(v₁+…+v_n)=U_nV_n→UV.

Правило Коши. ( )( )=u₁v₁+(u₁v₂+u₂v₁)+…+(u₁v_k+…+u_kv₁)+…= .

Т Мертенса. Если один из (1) сх-ся абс, а второй хотя бы усл, то ряд, полученный перемнож рядов (1) по правилу Коши сх-ся и его сумма UV. Д-во. . - усл, - абс. _n= V-0 => M=const>0: |_n|<=M, n. W_n=u₁(v₁+v₂+…+v_n)+u₂v_n-1+…+u_nv₁={V_n=V-_n}=U₁(V-_n)+U₂(V-_n-1)+…+

+u_n(V-₁)=U_nV-_n, _n=u₁_n+u₂_n-1+…+u_n₁.

U_nVUV=> достаточно доказать, что _n= (1).

Ряд сходится абсолютно => M₁=const>0 : <=M₁, n.

>0 m: </2M. _n0 => n₁: n>n₁ |_n|< /2M1.

n>m _n=(u₁_n+u₂_n-1+….+u_m_n-m+1)+(u_m+1_n-m+u_n₁)

n>m+n₁ => справедливы все выше указанные оценки : |_n|<=|…|+|…|</2M₁*+M < M₁*/2M₁+M*/2M= => _n0, n беск. и =UV.

6	Бесконечные произведения, критерии сх-ти.

Рассмотрим ЧП : (1) – беск произвед.

Беск. произв. называется сх-ся, если последовательность его частичных произведений имеет конечный предел != 0, при n→0.

Т (необх усл сх-ти беск.произв.). Для того чтобы б.пр. (1) сходилось необх, чтобы V_k→1, k→∞. Д-во. , .

Далее рассматриваем V_k > 0.

Зам. добавление или отбрасывание из б.пр. (1) конечного числа первых сомн. (!=0) не влияют на сх-ть или расх-ть б.пр.(1).

Т. б.пр.(1) с V_k > 0 сх-ся сх-ся ЧР (2). Д-во.

<=> для сх-ти {P_n}, т.е. (1) <=> cх-ть {S_n}, т.е. (2). P_n=e^Sn, n ; P=e^S

Сл. Необх усл сх-ти => сх-ть (1) <=> сх-ть ряда .

Т. Рассмотрим беск.пр. (5). Пусть U_k – сохраняет знак (U_k>-1). Тогда (5) сх-ся <=>сх-ся ряд (6). Д-во. U_k0 – необх усл сх-ти и (5) и (6). => Пусть U_k0 и ln(1+U_k)-сохр.знак.

Тогда => (5) и (6) сходятся и расходятся одновременно.

7	Двойной ряд: необх усл сх-ти, связь со сх-тью повторного ряда, кр сх-ти ряда с неотр членами.

Матрица с беск числом столбцов и строк.

- повторный ряд. Сх-ся, если сх-ся все ряды по строкам и сх-ся ЧР .

-двойной ряд. Сх-ся, если сущ двойн lim мн-ва част прямоуг сумм : .

Утв. a_kl=b_k*c_l, , - сх-ся, то двойной ряд сх-ся.

Необх усл сх-ти. . Д-во. a_mn=(S_mn-S_(m-1)n)-(S_m(n-1)-S_(m-1)(n-1))→(S-S)-(S-S)=0.

(1), (2), (3), (4), (5)

Т. Пусть сх-ся все ряды по строкам (2) матрицы и сх-ся двойной ряд (5). Тогда сх-ся и повт ряд (3) и его ∑=∑(5). Д-во. . (2) сх-ся => => ∑(3)(предел правой части при m→∞) = повт пределу => д-ем сущ повт предела и его = ∑(5). Cх-ся (5) => люб ε>0 сущ натур m0, n0: люб m>m0, n>n0 |S_mn-S|<ε/2 => S-ε/2<= <=S+ε/2 => |φ_m-S|<=ε/2<ε => чтд

Т'. Пусть сх-ся все ряды по столбцам (1) матрицы и сх-ся (5). Тогда сх-ся и повт ряд (4) и его ∑=∑(5).

Кр. сх-ти. Двойной ряд (5) с неотр членами сх-ся  мн-во {S_mn} ограничено. Д-во. => S_mn<S люб m,n, тк a_kl>=0. <= сущ supS_nm=S → люб ε>0 сущ S_m0n0 из {S_mn}: S-ε<S_m0n0<=S. a_kl>0 → люб m>m0, n>n0 S_mn>=S_m0n0 → S-ε<S_m0n0<=S_mn<S → сущ .

8	Абс сх-ть двойного ряда. Взаимосвязь между сх-тью повторных, двойного и одинарного рядов.

Двойной ряд сх-ся абс, если сх-ся (5").

Т. Сх-ть (5") => сх-ть (5). Д-во. Рассмотрим мн-ва p_kl=(|a_kl|+a_kl)/2, 0<=p_kl<=|a_kl|, q_kl=(|a_kl|-a_kl)/2, 0<=q_kl<=|a_kl|. (5") сх-ся => {S_mn} его част сумм ограничено => част суммы двойных рядов с p_kl и q_kl огр => эти ряды сх-ся => (5) сх-ся как их разность.

(6) составлен из элементов матрицы, занумерованных в произвольном порядке.

Т. Если хотя бы один из рядов (3")-(6") сх-ся, то сх-ся все ряды (3)-(6) и суммы их одинаковы.

Д-во. Рассматриваем (3), для (4) аналогично.

1. (3")=>(6")=>(6). S, S_mn – сумма и част сумма (3") => S_mn<=S люб m,n. Фикс люб натур р и . m,n настолько большие, что все a_r, r<p содержатся в S_mn => S_p<=S_mn<=S люб р => (6") и (6) сх-ся.

2. (6")=>(5")=>(5). Фикс люб m,n. Сущ настолько большой р, что все эл-ты S_mn входят в S_p => S_mn<=S_p<=S люб m,n, S – сумма (6") => (5") и (5) cх-ся.

3. (5")=>(3"), (5")=>(3). (5) сх-ся абс => част суммы (2") огр суммой (5") => (2") и (2) сх-ся. (5") и (2") сх-ся => (3") сх-ся. (5") сх-ся => (5) сх-ся, (2) сх-ся => (3) сх-ся и его ∑=∑(5).

(6) и (5) имеют одинаковые суммы: (5) сх-ся абс=> от перестановки членов сумма не изменяется => суммы одинаковы.

9	Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов (Чезаро, Пуассона-Абеля).

(1) Сходится, если сходится S_nS, где S – сумма ряда.

Требования: Регулярность: если (1) сходится, его сумма S, то он имеет и обобщенную сумму S. Линейность метода: ~U_об – обобщенная сумма, ~V_об . { } =>

Метод Чезаро (метод средних арифметических): (2). - обобщенная сумма (по Чезаро) (1). Линейность: ~U_об; U_n= ; ~ (2); ~V_об; V_n= ; ~ (2)

: , S_n, ~ (2) : =

Регулярность : следует из леммы о сходимости последовательности средних арифметических: S_nS => {лемма}=> S

Метод Пуассона-Абеля: Пусть ряд (1) сходится , его сумма S(x), пусть = S_об. Тогда ряд называется суммируемым по методу Пуассона-Абеля и число Sоб называется его обобщенной суммой (по Пуассону-Абелю).

Линейность: , , { } =>

Регулярность: Пусть =S. Доказать: 1. - сходится, S(x). 2. = S

1. -сходится => U_k= (1)=> {U_k}-ограничена: . - сх-ся → (1) сх-ся абс →S(x) – сумма ряда (1),

2. S(x)= , S= , S_n= ; S_nS; r_n=S-S_n0. Тождество Абеля: (S₀=0, V_n=x_n-1, n=1, pбеск, S_n+pS, V_n+p0, S_n-1=0, V_n0) => S(x)= ; => => , r_k0 =>

, т.е. =>

=> S(x) , ч.т.д.

10	ФП и ФР. Равномерная сх-ть. Кр Коши.

{x}из R^m, натур n → {f_n(x)} – ФП. ФП {U_n(x)} → ∑U_n(x) – ФР.

ФП {f_n(x)} сх-ся в x0 из {x}, если сх-ся ЧП {f_n(x0)}. {x"} – м-во точек сх-ти => пред ф-ция f(x) на {x"}.

ФР ∑U_n(x) сх-ся в x0 из {x}, если сх-ся ЧР ∑U_n(x0). {x"} – м-во точек сх-ти => сумма S(x) на {x"}.

ФП и ФР сх-ся на мн-ве, если они сх-ся в каждой точке этого мн-ва.

Опр. ФП равн сх-ся на {x}, если люб ε>0 сущ номер, начиная с которого |f_n(x)-f(x)|<ε для всех х из {x}.

Кр. f_n(x) равн сх-ся к f(x)  . Д-во. Расписать опр равн сх-ти и предела.

Зам. Из сх-ти не следует равн сх-ть (∑x^k на [0,1]).

Опр. ФР равн сх-ся на {x}, ФП его частичных сумм {S_n(x)} сх-ся равн на {x}.

Кр Коши. ФП сх-ся равн на {x}  люб ε>0 сущ N: люб n>N, люб натур р и люб х из {x} |f_n+p(x)-f_n(x)|<ε. Д-во. => равн сх-ть => люб n,x |f_n(x)-f(x)|<ε/2 => люб p |f_n+p(x)-f(x)|<ε/2 => суммируем. <= по кр Коши для ЧП (при каждом фикс х) => ФП f_n(x)→f(x). |f_n+p(x)-f_n(x)|<ε/2, p к бесконечности => |f(x)-f_n(x)|<=ε/2.

Кр Коши. ФР сх-ся равн на {x}  люб ε>0 сущ N: люб n>N, люб натур р и люб х из {x} <ε.

11	Признаки равн. сходимости ФР.

Признак Вейерштрасса. Если функц. ряд определен на {x} пространства и если существует сходящийся ряд такой что для всех точек {x} и для всех номеров k справедливо , то функц. ряд равномерно сходится на {x}. Д-во.

По критерию Коши ряд сходится. Чтд.

Послед. называется равномерно ограниченной на {x}, если существует такое вещественное число M>0, что для все n и для всех точек x .

Послед. называется последовательностью, обладающей на множестве {x} равномерно ограниченным изменением, если функц. ряд сходится равномерно на множестве {x}.

Последовательность, обладающая на множестве {x} равномерное ограниченным изменением, сходится равномерно на множестве {x}к некоторой предельной функции. Из равномерной сходимости ряда с модулями вытекает равномерная сходимость , n-я частичная сумма которого . Отсюда вытекает равномерная сходимость к .

1 признак Абеля. Если обладает равномерно ограниченной последов. частичных сумм, а обладает равномерное ограниченным изменением, и имеет предельную функцию, тожд. равную нулю. , то функ. ряд равномерно сходится (для всех св-в мн-во {X}). Д-во.

Фиксируем ; ,

По тождеству Абеля

Равномерно сходится по критерию Коши.

2 признак Абеля. Если сх-ся равномерно, а обладает ограниченным изменением и явл. равномерно ограниченной, то сх-ся равномерно. Д-во. Возьмем . Фиксируем Возьмем и отбросим первые . (Можем в силу замечания). Отбросим у рядов первые N членов. Это не повлияет на их равномерную сходимость. В силу равномерной сходимости

Следствие (признак Дирихле-Абеля). Если обладает равномерно ограниченной посл. част. сумм, а не возрастает в каждой точке {x} и равномерно сходится к 0, то равн. сх-ся. Д-во.

12	Признак Дини равномерной сходимости ФР и ФП. Почленный переход к пределу, непрерывность.

Признак Дини

Если не убывает (не возр) в каждой точке замкнутого огр. мн-ва {x} и сходится к , и если непрерывны, то сходимость равномерна. Д-во.

Не огр. общности не возр. .

1. 

2. 

3. =0

Пусть не сх-ся равномерно. Тогда . В силу огр. {x} по т. Больцано-Вейерштрасса можно выделить . в силу непр

Т*. Если все члены ряда неопр. и неотр. (непол) на замкнут. огр. мн-ве и в кажд. точке ряд сходится, и его сумма непр., то сх-ть равномерна.

Т. Если сх-ся равномерно на {x} к S(x) и у всех членов сущ. предел в , то и сумма S(x) имеет в точке предел . Д-во.

Сначала докажем сходимость Перейдем к пределу . По кр. Коши

Оценим разность

Фиксируем .

Можно указать для точек . Это доказывает существ. предела.

Можно переформулировать в терминах последовательности.

Следствие1. Если потребовать, чтобы принадлежала {x}, а все члены ряда были непрерывны, то и сумма будет непрерывна.

Следствие2. Если вче члены ряда(посл) непрерывны на плотном в себе мн-ве {x}, и если функц. ряд (посл) сх-ся равномерно на {x}, то и сумма ряда (пред. функц.) непрерывна на {x}.

13	Почленное диффер., сущ первообразных для ФП и ФР.

Т. Если каждая имеет производную на сегменте, причем послед. производных сх-ся равн на нем, а сама сх-ся хотя бы в одной точке сегмента, то равн сх-ся к некоторой пред. на сегменте, причем послед. можно дифференцировать почленно. Д-во. Докажем равн. сходимость посл. на сегменте. Из сходимости в точке и равн. сход-ти следует

По теореме Лагранжа

Отсюда - равн сх-ть.

Докажем существование производной. Фиксируем произвольное , чтобы она содержалась целиком в нашем отрезке. Обозначим ,

В силу равн сх-ти

По т. Лагранжа

равномерно сходится. Поэтому по теорм. почленном пред. переходе в . Согласно этой теореме функция являющ. пред. функцией послед. имеет предел в ч.т.д.

\

В терминах ФР: если каждая имеет произв. на [a,b], и если ряд из производных равн сх-ся на [a,b], а сам ряд сходится хотя бы в одной точке , то последний ряд сх-ся равн на [a,b] к некоторой сумме S(x), причем этот ряд можно диффер. на [a,b] почленно, т.е. его сумма имеет производную, являющ. суммой ряда из проиводных.

Т. Если каждая имеет первообр. на [a,b], сходится равномерно на [a,b] к предельной f(x), то и f(x) имеет первообр. на [a,b]. Д-во. {g_n(x)} – посл первообр для {f_n(x)} на [a,b]. {f_n(x)} cх-ся равн => {g'_n(x)} сх-ся равн на [a,b]. Сх-ть в x₀? фикс люб х₀ из [a,b) => φ_n(x)=g_n(x)-g_n(x₀) => φ'_n(x)=g'_n(x)=f_n(x) равн сх-ся к f(x), φ_n(x₀)=0 люб n (а значит φ_n(x) сх-ся) => φn(x) сх-ся равн к φ(х), сущ φ'(x)=limφ'_n(x)=f(x) => сущ φ: φ'(x)=f(x), т.е. f(x) имеет первообр.

ФР: Пусть ФР сх-ся равн на [a,b], S(x) – его сумма. Для люб сущ первообр на [a,b]. Тогда S(x) также имеет первообр на [a,b].

14	Почленное интегрирование ФР и ФП. Сходимость в среднем, связь с равномерной сходимостью.

Т. Если ФП сх-ся на [a,b] равн, каждая интегр. на [a,b], то и пред ф-ция интегр на [a,b], причем . Д-во.

1. Интегр f(x). Она огр, т.к. Фиксируем интегр. => можно выбрать разбиение: => Д-ем, что для нашего найдется n: что для любого разбиения (т.е. ). Рассмотрим произв. разбиение [a,b], обозначим колебание на к-м частичном сегменте и – колебание f(x).Неравенство будет доказано, если

В силу равн. сх-ти для нашего найдется n такой, что

Отсюда ; Построим две посл.,

Переходим к пределу, => Интегрируемость доказана.

2. Докажем, что

Доказательство завершено. Можно переформулировать в терминах функц. рядов.

Пусть каждая и f(x) будeт интегр, тогда тоже интегрируема. ФП сх-ся на [a,b] в среднем к f(x) если существ. нулевой предел

ФР сх-ся в среднем на [a,b]к сумме S(x), если посл част сумм сх-ся в среднем к пред. функции S(x).

Утв.1 Если cходится к f(x) равномерно на [a,b], то эта послед. сходится к f(x) и в среднем на [a,b]. Д-во. . Отсюда . Это и означает сходимость в среднем.

Утв.2 Сходимость в среднем не влечет ни равномерной, ни обычной сходимости хотя бы в одной точке. Рассм посл сегментов . .

Утв.3 Cх-ть к f(x) на [a,b] не влечет сх-ти в среднем. Д-во. f_n(x)=ne^-nx, x из (0,1], 0, x=0.

Т.Если последовательность сходится в среднем к f(x) на [a,b], то эту последовательность можно почленно интегрировать на [a,b], т.е. существует и равен .Д-во.

, .

.

Можно переформулировать для ФР.

Утв.4 Cх-ть к f(x) на [a,b] не влечет возм почл интегр. Д-во. f_n(x)=n²e^-nx, x из (0,1], 0, x=0.

Утв.5 Возм почл интегр не влечет сх-ти в среднем. Д-во. f_n(x)=n^3/4e^-nx, x из (0,1], 0, x=0.

Утв.6 Возм почл интегр не влечет сх-ти и равн сх-ти на [a,b]. Д-во. см утв. 2

15	Теорема Арцела. Пр равностепенной непрерывности ФП.

Последоват. наз-ся равностепенно непрерывной на {x}, если . Пр. f_n(x)=(-1)ⁿx на R.

Т. (Арцела). Если ФП равностепенно непр. и равн огр на [a,b], то из этой ФП можно выделить подпослед, равн сх-ся на [a,b]. Д-во. Построим посл точек на [a,b]. x1 делит этот отрезок надвое, вместе с х2 и х3 – на 4 части и т. д., т. е. каждый раз разбиваем отрезки надвое.

В точке выделим сходящуюся последовательность

Далее из этой последовательности выделим сходящуюся подпослед. в точке .

И так далее. Теперь построим диагональную послед. .

Т. к. послед. равностепенно непрерывна, Разобьем сегмент [a,b] на конечное число отрезков меньше . Из последовательности Очевидно, диагональная последовательность сходится в любой из этих точек. Поэтому (критерий Коши).

|+| |+| (Критерий Коши), чтд.

Утв. 1 Пусть ФП {f_n(x)} состоит из дифф-мых на [a,b] ф-ций и {f_n'(x)} явл равн огр на [a,b] => {f_n(x)} явл равност непр на [a,b]. Пр. f_n(x)=sin²nx/n. Д-во. равн огр => сущ М>0: |f_n'(x)|<=M люб n,x. люб x', x": |f_n(x')-f_n(x")|={т Лагранжа}=|f_n'(φ)(x'-x")|<=M|x'-x"|<ε (δ=ε/M).

Утв. 2 Пусть {f_n(x)} равност непр на [a,b] и сущ х0 из [a,b]: {f_n(x0)} огр, тогда {f_n(x)} равн огр на [a,b]. Д-во. сущ М>0: |f_n'(x0)|<=M люб n. Равн непр => определение для ε=1. Разбиваем [a,b] на конечное число р отрезков длины <δ => колебание f_n(x) люб n на [a,b] < p. Люб x из [a,b] <>x0: |f_n(x)|<=|f_n(x)-f_n(x0)|+|f_n(x0)|<p+M люб n.

16	Степенные ряды. Теорема Коши-Амадара. Непр-ть, дифф-ть, интегр-ть. Разложение ф-ций в степ ряды.

- степенной ряд. Будем рассматр . Все сх-ся в х=0.

Теорема Коши-Амадара. Рассмотрим степенной ряд.

1. Если последовательность не ограничена, то степенной ряд сходится лишь при х=0. 2. Если последовательность ограничена и имеет верхний предел L>0, то ряд абсолютно сходится для значений |x|<1/L и расходится для |x|>1/L. 3. Если посл ограничена, и ее верхний предел L=0, то ряд абсолютно сходится для всех х. Д-во. 1. Если послед. не ограничена, то для степенного ряда нарушено необходимое условие сходимости (члены не стремятся к нулю). 2. а) Фикс люб х: |x|<1/L. Найдется В силу свойства верхнего предела все элементы начиная с некоторого номера. С этого номера Сх-ся по признаку Коши. б) Фикс люб |x|>1/L. |x|>1/(L- ). Можно выделить подпосл, сх-ся к L. C некоторого номера справедливо Нарушено необходимое условие сходимости. 3. L=0, следоват. посл. б/м. С некоторого номера => сх-ся по признаку Коши.

Т. Если степ ряд сх-ся не только в 0, то сущ число R>0: ряд сх-ся абс при |x|<R и расх |x|>R. R – радиус сх-ти. (-R,R) – интервал сх-ти. R=1/L. L=0 => сх-ть на всей числовой прямой. В x=+-R ряд может как сх-ся так и расх. Пр. x^k, x^k/k², x^k/k.

Лемма. Для люб r из (0,R) ряд сх-ся равн на [-r,r]. Д-во. х из [-r,r] => |a_kx^k|<|a_k|r^k – сх-ся => по Вейерштр.

Сл. В усл леммы S(x) явл непр ф-цией внутри интервала сх-ти ряда.

Т. Сумма степ ряда внутри его инт сх-ти – непр ф-ция. Д-во. люб x из (-R,R) сущ r из (0,R): |x|<r => сл.

Т. R>0. Фикс люб х из (0,R) => степ ряд можно почл интегр на [0,x], получ при этом степ ряд имеет тот же радиус сх-ти (аналогично для (-R,0) => люб [a,b] из (-R,R)). Д-во. сущ r из (0,R): 0<x<r<R, на [-r,r] мжно почл интегр => и на [-x,x]. После почл интегр по [0,x] получим ряд - R₁: .

Т. R>0. Сумма степ ряда – непр дифф-мая ф-ция, ряд можно дифф-вать почл, получ при этом степ ряд имеет тот же R. Д-во. Дост д-ть, что R при дифф-нии не измен. Дифф-ем => - R₁: .

Опр. f(x) может быть разложена в степ ряд на {x}, если найдется степ ряд, сх-ся к f(x) на {x}.

Утв. Если f(x) мб разложена в степ ряд на (-R,R), то она имеет непр произв люб порядка на (-R,R). Этот ряд – ряд Тейлора f(x), т.е. a_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!. Д-во. Вытекает из т о дифф-ти, записать f⁽ⁿ⁾(0).

Зам. Усл сущ произв люб порядка необх, но не дост для разлож-ти в ряд. Пр. f(x)=e^{-1/x^2}, x<>0, 0, x=0.

Кр разлож-ти. f(x) мб разложена в степ ряд на {x}  остаточный член в формуле Маклорена для f(x) →0 при n→∞ на {x}. Д-во. => люб x из {x}=> f(x)=S_n(x)+R_n+1(x) => R_n+1(x)→0 при n→∞. <= ф-ла Маклорена => f(x)=S_n(x)+R_n+1(x), R_n+1(x)→0 при n→∞ => |f(x)-S_n(x)|→0 люб x=> f разложима в ряд.

Пр. , , люб х, , х из (-1,1].

17	Опр и д-во существования двойного интеграла. Классы интегр ф-ций. Основные св-ва двойного интеграла.

Введение простейших определений: разбиения прямоугольника прямоугльниками, интегральной суммы, диаметра,верхней, нижней суммы, интегралов Дарбу. 7 утверждений про суммы.

Т. Для того, чтобы ограниченная на прямоугольнике R f(x,y) была интегрируема на R, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлось такое разбиение Т, для которого S-s<е.

Т. Любая непрерывная в прямоугольнике R f(x,y) интегрируема на R.

Опр. Назовём элементарной фигурой множество точек, являющихся объединением конечного числа прямоугольников, со сторонами, || осям координат.

Опр. Будем говорить, что функция f(x,y) обладает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D) I-свойством, если 1) f(x,y) ограничена в R (в D); 2) для любого е>0 найдётся элементарная фигура площади <е, содержащая все точки и линии разрыва f(x,y).

Т. Если f(x,y) обладает в прямогольнике I-свойством, то она интегрируема на нём.

Опр. Г назвают кривой площади 0, если для любого е>0 найдётся многоульгольник площади <е, содержащий в себе все точки Г.

Пусть D-замкнутая огр. область, граница Г которой имеет площадь 0, а f(x,y) определена в D и огр. R-прямоугольник со сторонами, || осям координат, содержащий D. Зададим F(x,y)=f(x,y) в D, и =0, если (x,y) в R\D.

Опр. f(x,y) назовём интегрируемой в D, если F(x,y) интегрируема в R. Назовём интеграл I f(x,y) по D= интегралу F(x,y) по R.

Утв. Интеграл f=1 по D=площади D, так как верхние инт суммы=площадям элементарных фигур, содержащих D, а нижние-содержащихся в D.

Т. Если f(x,y) обладает в D I-свойством, то она интегрируема в этой области.

F(x,y) обладает I-свойством в R, ибо она огр., а точки разрыва либо из f(x,y), либо с пересечения f c Г, но Г имеет площадь 0.

Сл1. Если f огр. в D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то f интегрируема в D.

Сл2. Если f обладает I-свойством в D, а g огр. и совпадает с f всюду в D, за исключением мн-ва точек площади 0, то g инт., причём инт. g по D=инт. f по D.

Св-ва:

1.Аддитивность. Если f(x,y) инт. в D и если D кривой Г площади 0 разбивается на 2 связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то f инт. в каждой из этих областей, причем инт. по большой области равен сумме инт. по частичным областям.

2.Линейное св-во. Интегрируемость a*f(x,y)+b*g(x,y) и равенство этого интеграла а*инт(f)+b*инт(g)

3.Интегрируемость произведения f*g.

4.Если f<g, то и инт(f)<инт(g).

5.|инт(f)|<=инт(|f|), интегрируемость |f|.

6.Если f инт, а g совпадает с f всюду в D за исключением множества точек площади 0, то и g инт в D

7.Теорема о среднем значении.Если f и g инт в D, g знакопостоянна в D, M=sup(f), m=inf(f), то найдётся число µ: m<=µ<=M такое, что: инт(f*g)=µ*инт(g).

Если при этом f непрерывна в D, а D связана, то найдётся такая точка (a,b), что µ=f(a,b)

8.Геометрическое св-во. Инт от 1 по D=площади D.

18	Опред двойного интеграла при помощи произв разбиений обл. Эквивалентность двух определений.

D-замкнутая огр. область с границей Г площади 0. Определение инт. суммы для разбиения этой области произвольными кривыми площади 0 на конечное число r замкнутых частитчых областей, каждая из которых квадрируема в силу того, что обладает границей площади 0.

Диаметр области-наибольшее расстояние между двумя точками области.

Определение предела инт. сумм при стремлении диаметра разбиения к 0.

Опр. (Общее опр. интегрируемости) f(x,y) называется интегрируемой в области D, если существует конечный предел инт. сумм. Этот предел называется двойным интегралом от f(x,y) по D.

Теорема. Общее опр. интегрируемости эквивалентно опр. при разбиении прямоугольниками.

1)Пусть f инт. в D согласно общему опр. и её двойной инт. согласно этому опр. =I. Заключим D в прямоугольник R, разобьём его на прямоугольники и ввёдем F=f на D и F=0 на R\D. Инт. суммы функции f согласно двум опр. могут различаться лишь слагаемыми, соответствующими частичным прямоугольным разбиениям, имеющим общие точки с границей Г области D. Поскольку Г имеет площадь 0, а f огр., то эта функция инт. и согласно опр. через прямоугольники. По этому же опр. она имеет инт=I.

2)Пусть теперь f инт. согласно опр. разбиением прямоугольников и I-двойной интеграл. Докажем, что для f существует равный I предел. Пусть S’ и s’ – верхняя и нижняя суммы данного разбиения D. S’= и s’= , где M’ и м’ – точные верхняя и нижняя грань на соответствующих частичных областях.

Фиксируем произвольное е>0. Для него найдётся разбиение Т прямоугольника Р (D<Р) на частичные прямоугольники Рк такое, что для соответствующей F(x,y) S-s<e/2 и , где Мо–точная верхняя грань |f(x,y)|.

Заключим все отрезки прямых разбиения Т и границу Г внутрь элементарной фигуры Q, площадь которой<e/6Mo. Тогда точная нижняя грань расттояния между точками, принадлежащими Q и точками разбиения или границы. Пусть , тогда:

Удалим из S’ все слагаемые M’i Di, соответствующие областям Di, каждая из которых не лежит целиком в одном в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области Di<Q, так как di<= , а потому общая сумма таких площадей <e/6Mo. Получаем S’< +e/6, где ‘ у суммы означает, что суммирование распространяется лишь на области Di, целиком лежащие в частичном прямоугольнике. Теперь заменим M’i на Mк-точные верхние грани в прямоугольнике Рк и обозначим Рк’= Di, где Di<Pк, тогда получим S’< +е/6.

Для Rк<D области Rк\Rк’<Q, поэтому для них <= Q<e/6Мо.

Для прямоугольников, пересекающихся с Г: <= е/6Мо.

Итого: |S- =| )|<e/6+e/6=e/3, т.е. <S+e/3.

Получаем S’<S+e/3+e/6=S+e/2.

Аналогично доказываем s-e/2<s’. Итого s-e/2<s’<=S’<S+e/2, а так как s и S отклоняются от I не больше, чем на е/2,то интегральная сумма сходится к I.

19	Сведение двойного интеграла к повторному однократному.

Теорема. Пусть f(x,y) интегрируема в прямоугольнике R[a<=x<=b]*[c<=y<=d], и для каждого a<=x<=b существует I(x)= , тогда существует .

Разобьём R точками {xk},{yl} на np частичных прямоугольников R_kl=[x_k-1<=x<=x_k]*[y_l-1<=y<=y_l] так, что х₀=а, х_n=b, y₀=c, y_p=d, x_k>0, y_l>0.

-диаметр разбиения прямоугольника R, Mkl-супремум f на Rkl, mkl, соответственно, инфинум, S и s-верхняя и нижняя суммы f. Тогда всюда на Rkl: mkl<=f(x,y)<=Mkl.

Фиксируем еk: xk-1<=ek<=xk и положив в вышенаписанном неравенстве x=ek и проинтегривав его по y получим: mkl yl<= <=Mkl yl. Просуммировав по l от 1 до p и по k от 1 до n, умножив на xk, получим s=

Устремим к 0, тогда S и s стремятся к , следовательно, средний член стремится к тому же интегралу.Но этот предел по опр однократного интеграла= .

Теорема.Пусть выполнены следующие условия: 1) область D такова, что любая прямая, || Oy, пересекает границу Г по целому отрезку [y1(x);y2(x)], либо не более, чем в двух точках, ординаты которых y1(x)<=y2(x) 2) f(x,y) интегрируема в D и для любого x: x1<=x<=x2 допускает существование однократного интеграла , где [x1;x2] – проекция D на Ox. Тогда существует

Пусть R-прямоугольник со сторонами, || осям координат, содержащий D, а F(x,y)=f(x,y), если (x,y) принадлежит D и =0, если R\D. Для F выполнены все условия предыдущей теоремы, а значит, формула из неё переходит в необходимую (с учётом выбора F).

20	Кратные несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сходимости.

D – открытое связное множество пр-ва .

– замыкание D (получено присоединением к D его границы).

Опр Пос-ть открытых связных мн-в монотонно исчерпывает множество D, если

1) - включается в ; 2) .

Пусть f(x), х = ( ) – задана на мн-ве D, интегрируема на любом замкнутом кубируемом подмн-ве D.

Рассматриваем все { }, монотонно исчерпывающ. D и такие что все – кубируемы.

Опр Если пос-ти { } существует предел числовой пос-ти: и этот предел не зависит от выбора пос-ти { }, то этот предел наз-ся несобственным интегралом ф-ии f(x).

Опр Если описанный выше предел существует, то интеграл называют сх-ся, и расх-ся иначе.

Теорема. Для сх-ти несобств. интеграла от неотр. в обл-ти D ф-ии f(x), необходимо и достаточно чтобы пос-ть } была ограничена хотя бы для одной монотонно исчерпывающ. мн-во D пос-ти { }.

Док-во: Необх-ть: сх-ть несобств. интеграла по определению означает сх-ть пос-ти } для всех { } монотонно исчерпывающ. мн-во D, т.е. она ограничена для всех пос-тей{ }.

Дост-ть: Пос-ть } – ограничена и не убывает(т.к. содерж-ся в , значит она сх-ся к нек. числу I. Докажем что для всех ост. { } она сх-ся к тому же числу. Берем произв пос-ть, фиксируем у нее номер , смотрим область с этим номером. Поймем что в пос-ти из условия найдется такой номер , что (русская – произв, англ – из условия) содерж-ся в .(иначе для любого k можно указать точку из , которая не . Тогда в силу замкнутости и огр-ти D из можно выделить сх-ся к M подпос-ть. Но M с нек. ок-тью лежит в одном из (и всех с большими номерами), а это противоречит выбору точек ). Т.е. содерж-ся в , а значит . Значит сх-ся к числу . Меняем в рассужд. Пос-ти местами и получаем что к , т.е. сх-ся к .

Теорема (общий признак сравнения). Если на открытом мн-ве D верно f(x) g(x), то из сх-ти несобств. интеграла ф-ии g(x) след сх-ть для f(x), и с расходимостью наоборот.

Док-во Для пос-ти верно: , т.е. из огр. следует огр-ть , а из неогр-ти , она же для . Т.е. признак верен в силу пред теоремы.

21	Кратные несобств интегралы от знакоперем ф-ций. Эквивалентность понятий сх-ти и абс сх-ти.

Опр Несобств интеграл сх-ся абсолютно, если сх-ся интеграл .

Теорема. Для m-кратных (m>1) интегралов понятия сх-ти и абс. сх-ти эквивалентны.

Док-во [из абс. обычная ] и ; ; из интегрир-ти f(x) в любой кубир-й подобл-ти D следует интегр-ть модуля, а значит и и (в силу из определения). Из сх-ти ряда из модулей при помощи общего признака сравниния(пред. билет) убеждаемся в сх-ти и . Из опред. из сх-ти несобств и следует сх-ть их разности, т.е. .

[из обычной – абс.]Пусть сходится, но не сх-ся абс. Т.е. пос-ть будет монотонн. возр. б.б. пос-тью. Значит { } можно выбрать так, чтобы (просто выбрасывая пром. члены не удовл нер-ву.). обозначим мн-во . Тогда

= > , т.е. больший из интегралов или (далее считаем что +) > .

Составим нижнюю сумму s для нек. конечного разбиения обл-ти (на частей) так, чтобы |s - |< 1 (такая есть по лемме Дарбу) тогда s т.е. . По опр. ( – нижняя грань области , – ее m-мерный объем). Выкинем из области для которых = 0; обозначим что осталось за . Т.к. в ф-ия > 0, то она совпадает с и сумму s можно заменить на: . Сложим с , получим при фикс n : , где . (в случае если вместо было бы было б < – n – 1). Тогда для всех n .

Все бы хорошо, но может не быть связной. МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ СДЕЛАЕМ ЭТИ ОБЛАСТИ СВЯЗНЫМИ. Дополним каналами (кубируемые связные обл-ти из изначального , которые соединят с обл-ми ) до связной обл-ти. Т.к. разбиение - конечное, то и кол-во каналов конечно. Обозначим объединение всех каналов .т.к. f(x) интегрируема, а значит ограничена на , то , где M = sup|f(x)|. Потребуем чтобы m-мерный объем каналов был < 1/M. Тогда и значит .

Т.е. пос-ть связных кубируемых областей (т.к. - включается в и вообще говоря может совпадать с ним берем четные номера) монотонно исчерпывает область D, и пос-ть интегралов расх-ся, т.е. несобст интеграл расходится, но по усл-ю он сх-ся. Противоречие и доказывает теорему.

22	Криволинейные инт-лы первого и второго рода.

Спрямляемая кривая L=AB, не имеющ точек самопересеч и участков самоналегания x=φ(t),y=ψ(t)=> на ней опр f(x,y,), P(x,y), Q(x,y) – вдоль L непр => равн непр. Разобьем [a,b] на n част сегментов [tk-1,tk] => L на n част дуг Mk-1Mk => Nk(ζk,ηk)=N(τk). . Диаметр разбиения Δ=maxΔl_k. σ₁=∑f(ζ_k,η_k)Δl_k, σ₂=∑P(ζ_k,η_k)Δx_k, σ₃=∑Q(ζ_k,η_k)Δy_k.

Опр. I – предел интегр суммы σ_s при Δ→0, если люб ε>0 сущ δ>0: независимо от выбора N_k |σ_s-I|<ε, Δ<δ

Опр. Если сущ limσ₁ при Δ→0, то это криволин интегр первого рода от f(x,y) по L: .

Опр. Если сущ limσ₂ (σ₃) при Δ→0, то это криволин интегр 2 рода от P(x,y) (Q) по L: .

- общий криволин интегр 2 рода.