- •1 Билет. Понятие множества , элемента множества.
- •2 Билет. Конечные и бесконечные множества.
- •3 Билет. Свойства операций объединения и пересечения множеств.
- •4 Билет. Прямое произведение множеств.
- •5 Билет. Бинарные отношения.
- •6. Функция как закон соответствия между множествами
- •7. Класс элементарных функций
- •8. Суперпозиция функций.
- •9. Последовательность - функция натурального аргумента.
- •10. Бесконечно малые последовательности
- •11 Билет. «»
- •12 Билет. «»
- •21 Билет. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности:
- •22.Признаки существования предела последовательности.
- •23. Замечательный предел типа «е».
- •24. Предел функции в точке.
- •25. Определение предела функции на языке языке «ε» — «δ».
- •31. Теоремы об арифметических свойствах пределов.
- •32. Сравнение бесконечно малых функций
- •33.«Замечательный» предел - предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу.
- •34. Определение непрерывности функции в точке.
- •41 Определение производной.
- •42 Приращение функции и вычисление средней скорости изменения функции.
- •43 Геометрический смысл производной.
- •44 Связь между непрерывностью и существованием производной.
- •45) Правила вычисления производной от суммы, произведения и частного функций.
- •46 Производная сложной функции
- •48 Бином Ньютона. Формула Ньютона-Лейбница.
- •49 Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке.
- •50 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •51.Понятие о дифференциале функции.
- •52.Геометрический смысл дифференциала функции.
- •53.Связь дифференциала и производной функции.
- •54.Свойства дифференциала.
- •55.Таблица дифференциалов.
- •60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
- •61 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.
- •62 Задача нахождения площади криволинейной трапеции.
- •63 Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
- •64 Производная определенного интеграла по верхнему пределу.
- •64.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •69. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
- •70. Несобственные интегралы от разрывных функций.
- •71. Интеграл вероятностей (Пуассона).
52.Геометрический смысл дифференциала функции.
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M1(x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
53.Связь дифференциала и производной функции.
Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x0 дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f" (x0), и справедливо равенство dy = f" (x0) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x0 как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х0) = f" (x0); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f" (x0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f" (x0) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.
54.Свойства дифференциала.
Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.
d c = 0;
d(c u(x)) = c d u(x);
d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);
d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);
d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме ( 3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции
dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,
так как u'dx = du. То есть dy = f'(u)du. (5)
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле ( 4) dx = D x, а в формуле ( 5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.
55.Таблица дифференциалов.
60 Метод интегрирования «по частям» для вычисления неопределенного интеграла.
К сожалению, не существует формулы, выражающей интеграл от произведения функций через интегралы от сомножителей. С этим связано то обстоятельство, что, в отличие от производных, интеграл от элементарной функции не всегда является элементарной функцией. Например, и - табличные, тогда как не выражается через основные элементарные функции.
Для того, чтобы найти интеграл от произведения некоторого класса функций, таких, как , , , , , и другие, рассмотрим прием интегрирования, обратный приему дифференцирования произведения двух функций.
Пусть и - две функции, имеющие непрерывные производные и . Найдем дифференциал произведения функций и :
.
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим: , т. к. , а , то получаем , откуда .
Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства, можно опустить и записать равенство в виде:
(1)
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Этой формулой обычно пользуются в том случае, когда подынтегральное выражение проще, чем подынтегральное выражение .
Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде . Например, и так далее. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части и так, чтобы вид был не сложнее, чем вид , а вид проще, чем вид . В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как , производные имеют вид более простой, чем сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за .
Итак, формула для вычисления неопределенного интеграла «по частям» (*) где u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, d(u(x)) и d(v(x)) – их дифференциалы.
Примеры. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.
1) Вычислить .
Решение.
2) Вычислить .
Решение.
3) Вычислить
Решение.
Любопытный пример представляют интегралы, в которых после применения формулы (1) и преобразований в правой части получается исходный интеграл, но с другим коэффициентом. Тогда, приводя подобные члены, можно прийти к алгебраическому уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определяется. К таким интегралам относятся, например, такие: , , .
Примеры.
1) Вычислим .
Решение.
Обозначим , тогда получим уравнение
.
Решая его, получаем и , таким образом,
.
2) Вычислим .
Решение.
еще раз применим формулу (1)
; и ..