64.Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу

 Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:  Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .  Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.  Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда  , где c - точка, лежащая междуx и  (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом  (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то. Следовательно, существует  , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

65. Формула Ньютона — Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке.

Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

66.Свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

5)

Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке

Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

|f (x)| интегрируема на [a; b], причем

67.Теорема о среднем значении определенного интеграла на отрезке

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда 

Доказательство:

1. По свойству функции, непрерывной на отрезке, , такие что .

2. По свойству определенного интеграла , следовательно , . Обозначим дробь как m ^* .

3. Так как непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения, а , то , такая что 

68. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

 Для нахождения суммарной площади используется формула:.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

  Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2  Искомая площадь может быть найдена по формуле:

(ед²)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x), [f₁(x)≤f₂(x)] и прямыми х=а и х=b, находится по формуле:

     Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=–x², y=–x–2.      Решение.      Найдем абсциссы точек пересечения данных линий: x₁=–1,x₂=2.      Значит,                   =–3+1,5+4+2=4,5.

Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох; находится по формуле: 

Длина кривой, заданной уравнением y=f(x), a ≤x≤b,выражается следующим образом: