Похибки представлення чисел.

Множина дійсних чисел, що використовуються є безмежною. При розрахунку на IC. Множина цілих та дійсних двійкових чисел є обмеженою. Це зв’язано з обмеженістю розрядної сітки К. Наприклад, якщо для представлення цілого числа відводиться 16 рядків, то максимально додатне число N=2¹⁶-1. Аналогічні обмеження мінімального числа. Для дійсних чисел N=0.a₁a₂a₃En порядок задає обмеження по величині, а кількість цифр у мантисі задає дискретність розподілу цифр на числовій осі. Наприклад, в 10-вій системі числення нехай для представлення мантиси відводиться у розряди, то всі числа, які лежать між 3552 3551 0.3552 I 0.3551 в машині будуть представлені машинним нулем. Внаслідок цього числа будуть представлені наближено N=0.a₁a₂a_3?

Максимально відома похибка, яка виникає при заокругленні чисел за означенням дорівнює

, де -основа системи числення,

k-кількість розрядів мантиси.

Наприклад, якщо використовується 16-система числення і для мантиси використовується 6 розрядів, то похибка

Якщо не виконувати заокруглення, а просто відкидати лишні розряди, то максимальна відносна похибка зросте в 2 рази.

Стійкість, коректність та збіжність.

Нехай величина X-це початкове вхідне значення; Y-шукана величина або розв’язок. Якщо малим змінам вхідної то говорять, що задача є стійкою по вхідних параметрах. Це означає, що розв’язок неперервно залежить від початкових значень, тобто малі похибки вхідних даних приводять до малих похибок результату.

Задача називається поставленою коректно, якщо для деякого класу вхідних даних її розв’язок існує, єдиний і стійкий у вхідних даних. Якщо розв’язок задачі не стійкий (малі похибки вхідних даних сильно впливають на результат або дають зовсім неправильний результат) то, вона є не коректно поставленою. Існують методи розв’язку некоректних математичних задач, при цьому використовують методи регуляризації.Вводять параметр регуляризації задача стає коректно поставленою а її розв’язок при прямуванні параметра до нуля переходить у розв’язок некоректно поставленої задачі.

Під збіжністю числового методу розуміють, що розв’язок істиною. При цьому будується деякий ітераційний процес. Він представляє деяку послідовність дій, які періодично повторюються. Кожне із таких повторень називається ітерацією. В результаті ітерацій отримуємо послідовність розв’язків : Числовий метод називається збіжним, якщо (a- точний розв’язок)

Числове інтегрування

Обчислення сканерних адитивних величин зводиться до сумування нескінченного великого числа нескінченно малих складових такого вигляду

наближене, а отже у відрізку точку (i=0,1,2,,,,n-1)

Нехай на скінченому відрізку [а,б] задана неперервна функція f(x). Нехай

1. Розіб'єм відрізок [а,б] довільним числам на n частинних відрізків точками 2. Позначимо довжину кожного частинного відрізка через (i=0,1,2,,,n-1)

3. Виберемо довільно кожному частинном

4. Складемо добуток значення функції f в точці і на довжину і-го відрізку

5. Цей добуток дає площу елементарного і-го прямокутника

6. Просумуємо отримані добутки- називається інтегральною сумою.

Ну а інтеграл якщо існує скінчена границя.

Для наближеного інтегрування функції розроблено багато числових методів. Суть всіх методів зводиться до того, що значення інтеграла обчилюється наближено за формулами: -квадратурна!

Дійсні числа називається коефіцієнтами та вузлами квадратурної формули . Величину називається залишковим членом або похибкою квадратурної формули .

Замінюючи інтеграл квадратурною сумою ми нехтуємо залишковим членом R(f).

Виконуючи обчислення за формулою (1) завжди оперую льної ть не з точними, а з наближеними значеннями підінтегральна функції f(x) і коефіцієнт A. Похибка, з якою задані значення f(x) та A, переноситься і на квадратурну суму-це так звана неусунена похибка R формули (1). Якщо A - точні числа, а значення f(x) обчислені з похибкоюто значення квадратурної суми буде обчислена з неусуненою похибкою

При знаходженні квадратурної суми всі проміжні обчислення рекомендується проводити з 1-2 записними цифрами. Це дає можливість знехтувати похибками заокруглень в проміжних обчисленнях. Але при записних відкидані записних цифр в кінцевому результаті необхідно враховувати заключну похибку заокруглення Отже - сумарна похибка числового інтегрування.

Геометрично загальний підхід до рішення задачі наближеного інтегрування функція полягає в тому, що криволінійну трапецію, площа якої дорівнює шуканому інтегралу, вписують або описують частинні прямокутники ,трапеції або параболи, знаходять їх площі, а потім сумують. В результаті отримують наближення значення шуканого інтегралу, тому що при цьому графік функції f замінюється на деяку ламану лінію. У відповідності до вибору геометричної фігури для обчислення інтегралу розрізняють формули:

прямокутників

трапеції

парабол (Сімпсона)

Для отримання цих формул відрізок інтегрування ділять на частинні відрізки однакової довжини.