Інтерполяційний багаточлен Лангранжа

Ln(x) = y_iL_i⁽ⁿ⁾(x) – в обчислення вводяться зразу всі точки

L_i⁽ⁿ⁾(x) =

Коефіцієнти Лангранжа які задовільняють умовам:

L_i⁽ⁿ⁾(x_і) =1, L_i⁽ⁿ⁾(x_j) = 0 при i≠j

Блок-схема алгоритму

Це є глобальна інтерполяція, тобто випадок коли експериментальне значення замінюються деякою функцією, яка описує їх у всіх точках x₀, x₁, x₂…,x_n . Тобто інтегральна функція повинна проходити через всі експериментальні точки. Їх вигляд

L(x) = y₀l₀(x)+ y₁l₁(x) +…+ y_nl_n(x)

Тобто вона є лінійною комбінацією многочленів степені n. Многочлени l_i(x)вибираються із таких умов.

l₀(x)=1 в точках х=х₀ і l₀(x)=0 у всіх інших точках

l₁(x)=1 в точках х=х₁ і=0 у всіх інших точках

l_n(x)=1 в точках х=х_n i=0 у всіх інших точках

l₀(х)=

l₁(x)=

.

.

.

l_i(x)=

Апромаксимація. Метод найменших квадратів

Із збільшенням n труднощі побудови інтерполяційного багаточлену зростають суттєво. Але необхідність в точному відтворенні функції виникає не завжди і часто достатньо мати багаточлен значно меншого степені наприклад , лінійну функцію або квадратний тричлен, що відтворюють основні закономірності досліджуваної залежності.

Тому, природньо поставити задачу про визначення баготочлену більш низького степені m<n

P_m(x)=a_mx^m+a_m-1x^m-1+...+a₀ (1)

“віддаль” між ним і функціє F(x), в деякому змісті, мінімальна. Такий багаточлен називається апроксимуючим. Він згладжує локальні особливості заданої експериментальної таблиці і відображає загальну поведінку функції f(x) вздовж всього інтервалу зміни. Розглянем метод найменших квадратів, що розв’язує цю задачу.

Нехай задана таблиця значень функції y=f(x) {x_і,y_і} i=1,n

Апроксимуюча функція шукається у вигляді

Y=(x,a₁,…a_m), де a₁,…a_m параметри, що потрібно визначити.

Обчислимо (2) при х=x_i

Y₁=(x,a₁,…a_m), і=1,n.

Між досліджуваною і апроксимуючою функціями є відмінність, яку оцінимо за допомогою суми квадратів різниць їх значень:

S=S(a₁,…a_m)=(3)

параметри a₁,…a_m знайдемо із умов min похибки апроксимації S

(4)

отримуємо суму m-рівнянь для визначення m- невідомих параметрів.1

Апроксимація багаточленом.

Нехай апроксимуюча функція (2) має вигляд

Y=a₁x+a₀

Тоді (3) , а рівняння (4) будуть такими

або (5)

Звідки коефіцієнти а₀ і а₁ визначаються однозначно. Якщо апроксимуюча функція має вигляд (1), то коефіцієнти а₀, ...а_m визначаються із системи лінійних рівнянь

R₀a₀ + R₁a₁ +…+ R_ma_m = B₀

R₁a₀ + R₂a₁ +…+ R_m+1a_m = B₁ (6)

.

.

.

R_ma₀ + R _m+1a₁ +…+ R _2ma_m = B_m , де

R_k = , де k=0,2m (7)

B_j = , j = 0,m

Приклад, задана таблиця значень max i min ємності шести “підстроювальних конденсаторів”. Потрібно апроксимувати ці дані лінійною залежністю.

і	уі	уі	хі2	хіуі
1 2 3 4 5 6	4.4 4.4 4.7 4.7 4.5 4.6	2.3 2.1 2.3 2.5 2.2 2.4	19.36 19.36 22.09 22.09 20.25 21.16	10.12 9.24 10.84 11.75 9.90 11.04
	27.3	13.8	124.31	62.89
/n	4.55	2.3	20.72	10.48

R₀a₀+R₁a₁ = B₀

R₁a₀+R₂a₁ = B₁

Згідно (5)

• (2) 20.72а₁ + 4.55а₀ = 10.48

1. 4.55а₁ + 1а₀ = 2.30

а₁ = -0.86

а₂ = 1.60

Апроксимуючою функцією буде у=0.86х – 1.60

В статистиці цю залежність називають рівнянням регресії у по х.

Похибка середньоквадратичної апроксимації функції визначається виразом:

 = [ ]^1/2

Алгоритм

Початок

Ввід m,n масивів Y,X

R_k = 1/n

A_ij=R_k, j=1,m+1, k = 1,2m+1, i=k-j+1; B_j= ; j=1,m+1

Розв’язок системи лінійних рівнянь

Вивід масиву А

Рекурсивні алгоритми.

Циклічні обчислювальні алгоритми в яких значення деякої функції (або функцій) на кожному наступному кроці обчислень залежить від значень цієї ж функції, отриманого на попередньому кроці обчислень, називають рекурсивними алгоритмами.

Обчислення функції при цьому проводяться за рекурсивними формулами. Прикладом є запис х=х+1; рекурсивними є алгоритмидля розв’язування таких задач як знаходження суми та добутку скінченного числа доданків; суми нескінченого ряду3 ; уточнених коренів лінійних рівнянь; знаходження max (min) значення із деякої множини значень. Рекурсивні алгоритми можуть бути скінченими та інтераційними.

Алгоритм обчислення суми  ряду з заданою точністю ε:

S = 1+ =

|a| - приріст суми.

Цей алгорим є ітераційним.

Початок

Ввід 

S = 1

n=2

a = 1/nⁿ

S = S +a

n=n+1

|a|≤

Друк

Кінець

ні

так