Розрахунок похибок функцій багатьох змінних.

Для оцінки операційних похибок можна ще робити так: Результат обчислень розглядають як функцію всіх операндів і результатів операцій і розкладають цю функцію в багатомірний ряд Тейлора. При малих похибках аргументу обмежуються лінійними членами ряду.

y · x	Ry = x; Rx = y
y / x	Ry = 1/x;
xy	Ry = xyln x; Rx = y · xy-1
		1/2
ex	ex	x
10x	10xln 10	xln 10
lg x	1/x · ln 10	1/ln 10 lnx
ln x	1/x	1/ln x
sin x	cos x	x/tg x
cos x	-sin x	-x · tg x
tg x	1/cos2 x	2x/sin 2x
arcsin x
arcos x
arctg x	1/(1 – x2)	x/((1 - x2) · arctg x)

Для перевірки точності слід використовувати по можливості більш прості методи.

1. Для обчислення спец. функцій – порівняння з відомими точними значеннями.

2. Точність коренів нелінійних рівнянь f(x) = 0 і систем рівнянь оцінюють по нав’язках рівнянь. (значення лівої частини рівняння при підстановці обчислених значень коренів)

При використанні прямих (точних) методів обчислень, коли точно відомо число операцій, похибки можна оцінити наперед. При використанні непрямих методів (числове інтегрування, сумування ∞ рядів, розв’язують рівняння методом послідовних наближень) точне значення результату може бути отримане тільки після ∞ числа операцій. Практично ж виконується тільки скінчене число операцій, то виникає методична (залишкова похибка). Тому при використанні непрямих методів алгоритм обчислень потрібно вибирати так, щоб min суму операцій і методичної похибки.

Якщо функція f є функцією багатьох змінних, z = f(x₁, x₂, … x_n), то - абсолютна похибка

або обчислення ще середньоквадратична похибка

Відносна похибка

або

або по середньоквадратичній

Визначення допустимої похибки аргументів по допустимій похибці функцій.

Ця задача має однозначне рішення лише для функцій одної змінної

y=f’(x); якщо ця функція диференційована і f’(x)0, то

Для функції декількох змінних задача розв’язується лише при введені яких-небудь доповнюючи обмежень. Наприклад, якщо значення одного з аргументів на багато важче виміряти чи обчислити з великою точністю чим значення залишившихся аргументів,

то похибка саме цього аргументу треба згодити з потрібною похибкою функції.

Якщо значення всіх аргументів можна однаково легко обчислити з будь-якою точністю, то як завжди застосовують принцип рівних впливів, рахуючи, що у формулі

все ,,, рівне між собою; це дає формулу (i=1,2,…,n) (5.2)

На практиці часто зустрічається задачі проміжкового типу між вказаними крайніми випадками ми розглядаємо вказані приклади.

Приклад 5.1 З якою точністю випливає вимірюваність кут у першій чверті, щоб отримати значення sin x з четвертинними знаками.

Розв’язання. Якщо відомо, що кут х>6; так що sin x>0.1, то потрібно обчислити так щоб виконалась нерівність у відповідності з ф. достатньо глянути та виміряти кут з точністю до 1” . Якщо поверх того відомо, що кут х>60і, означає, cos x<0.5, то потрібно скористатися формулою (5.1), звідки

Приклад 5.3. Найти допустиму абсолютну похибку наближених величин х=15.2, у=57,до яких можливо знайти значення функції

з точністю до двох десятих знаків (після коми)

РОЗВ’ЯЗАННЯ: Знаходимо

U=

За умовою u=0,005. Тоді згідно закону за формулою (5,2) знаходимо

Обернена задача.

Якщо функція залежить тільки від одного аргумента (n=1), то маємо не рівність С1 і для досяжності потрібної точності достатньо взяти

У випадку n>1 іноді рекомендують відвести похибці кожного аргумента

рівну долю, вибрати з умови ,

В іншому випадку пропонують взяти усі похибки рівними, максимально можливими, т.с. покласти

де .