Теорема про взаємність побічних робіт (теорема Бетті):

Робота першої сили на переміщенні точки її прикладання під дією другої сили дорівнює роботі другої сили на переміщенні точки її прикладання під дією першої сили.

Теорема про взаємність побічних переміщень (теорема Максвелла):

Вона має місце, якщо Р₁=Р₂: переміщення точки А під дією сили, прикладеної в точці В, дорівнює переміщенню точки В під дією тієї ж сили, але прикладеної в точці А.

Питання для самоперевірки

1. Чим відрізняються переміщення від деформацій?

2. Як визначаються переміщення в стержневих системах — балках і рамах?

3. Опишіть послідовність визначення переміщень.

4. У чому заключається графоаналітичний спосіб Верещагіна перемножування епюр?

5. Сформулюйте теореми Бетті і Максвелла.

ПРИКЛАД 14. Для рами (мал. 16а) потрібно визначити горизонтальне переміщення перерізу А і кут повороту перерізу D.

Розвязання. Будуємо спочатку звичайним методом епюру згинних моментів від заданого навантаження (вантажну). Вона представлена на рис. 16 б.

Визначення необхідного горизонтального переміщення в перерізі А, кута повороту в перерізі D проведемо за методом Мора з використанням правила Верещагіна. Для цього будуємо епюри моментів від одиничної сили Р_А=1, прикладеної в т.А, і від одиничного моменту М_Д=1, прикладеного в т. D.

Ці епюри приведені відповідно на мал. 16 в і 16 г.

Виконуючи перемножування епюр, отримаємо

Знак плюс вказує, що напрямок переміщення в перерізі А збігається з напрямком одиничної сили Р_А. Кут повороту в т. D дорівнює

(поворот проти ходу годинникової стрілки).

Рис. 16

Тема 12. Розрахунок статично невизначених стержневих систем

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. XII; 2, р. X, § 81—83; 3,р. VI, § 42—45.

При розробці даної теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Статично невизначеними стержневими системами називаються системи, розрахунок яких не може бути виконаний при використанні тільки рівнянь статики. Характерним для статично невизначених систем є наявність зайвих в’язей, число яких визначає ступінь статичної невизначеності. Ступінь статичної невизначеності можна визначати різними способами і, зокрема, методом замкнутих контурів. Відповідно до цього методу для системи підраховується число замкнутих контурів К і число простих шарнірів (що з’єднують два стержні) Ш. Тоді ступінь статичної невизначеності дорівнює

n = ЗК - Ш (12.1)

Розрахунок статично невизначених систем можна виконати різними методами. При розробці даної теми можна обмежитися тільки одним — методом сил. Відповідно до цього методу розрахунок вихідної статично невизначеної системи може бути замінений розрахунком деякої основної системи, що є статично визначеною і геометрично незмінною і одержується з вихідної шляхом відкидання n звязків і заміною їх дією невідомих сил X_j (j=1, 2, . . ., n). Необхідно звернути увагу на те, що основну систему можна вибрати різними способами.

Далі необхідно використовувати умову еквівалентності, тобто однакової роботи, вихідної й основної систем. Оскільки у вихідній системі є зв’язки, що відсутні в основній системі, то умовою еквівалентності буде вимога рівності нулю переміщень в основній системі по напрямку «зайвих» невідомих X_j. Ці умови приводять до канонічної системи

(12.2)

Число цих рівнянь збігається з числом невідомих X_j. Коефіцієнти системи (12.2) мають зміст одиничних переміщень. Так, _kj — є переміщення по напрямку дії сили Х_к від X_j, а _кр — переміщення по напрямку дії сили Х_к від зовнішнього навантаження. Ці переміщення визначаються за формулою Мора

, (12.3)

.

Отже, для обчислення цих коефіцієнтів необхідно побудувати для основної системи одиничні епюри при Х_к=1 і вантажну епюру M_р від зовнішнього навантаження, а потім використовувати (12.3). Замість застосування формули Мора можна використовувати множення епюр за правилом Верещагіна (див. тему 11).

Для перевірки правильності знайдених коефіцієнтів і вільних членів системи (12.2) використовується:

1) порядкова перевірка; 2) сумарна перевірка; 3) перевірка вільних членів.

Для виконання цих перевірок необхідно побудувати сумарну одиничну епюру

.

Порядкова перевірка має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри на яку-небудь одиничну дорівнює сумі коефіцієнтів у відповідному рядку канонічної системи.

Сумарна перевірка має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри самої на себе дорівнює сумі всіх коефіцієнтів системи канонічних рівнянь.

Перевірка вільних членів має на меті перевірку того, що добуток сумарної одиничної епюри на вантажну дорівнює сумі усіх вільних членів.

Розвязати систему (12.2) можна будь-яким з відомих способів, наприклад, використовуючи правило Крамера, або метод послідовного виключення невідомих. Після розвязку (12.2) будується розрахункова епюра згинних моментів

(12.4)

Після побудови епюри згинних моментів на ділянках будується епюра поперечних сил Q з використанням різницевого аналога залежності

(12.5)

Епюра повздовжніх сил будується на ділянках з використанням рівнозначності вузлів повздовжня сила на перпендикулярній ділянці дорівнює відповідній поперечній силі на ділянці, що розглядається.

Після побудови епюр виконуються загальні перевірки: статична і кінематична.

Статична перевірка полягає в тому, що будь-яка вирізана з вихідної системи частина повинна знаходитися в рівновазі під дією зовнішніх сил і силових факторів у перерізах.

Для виконання кінематичної перевірки необхідно вибрати основну систему, відмінну від використаної при розрахунку, побудувати одну з одиничних епюр і перемножити цю епюру на розрахункову. У випадку правильності побудови епюр цей добуток повинен дорівнювати нулеві.

Крім зазначеного вище, необхідно опрацювати питання про визначення переміщень у статично невизначеній системі й уяснити собі, що при визначенні переміщень одинична епюра по напрямку шуканого переміщення будується для основної системи.