Види опор і їх позначення Таблиця 1

№ п/п	Назва опори	Позначення на схемах	Вид опори
1	Шарнірно-нерухома опора
2	Шарнірно-рухома опора
3	Жорсткозакріп-лена

Зверніть увагу на класифікацію навантажень (об'ємні і поверхневі, розподілені і зосереджені, статичні і динамічні), на те, що конструкції можуть виявитися статично невизначеними, тобто такими, розрахунок яких неможливий з використанням тільки рівнянь статики без залучення рівнянь сумісності деформацій.

Нарешті, варто звернути увагу на той факт, що в законах опору матеріалів проявляються загальні закономірності філософії.

Питання для самоперевірки

1. Що вивчає наука "Опір матеріалів"?

2. Що таке розрахункова схема?

3. Які опорні закріплення стержнів ви знаєте?

4. Як класифікують споруди за геометричними ознаками?

5.Які види класифікації можна дати для зовнішніх навантажень?

6. Перелічіть основні гіпотези опору матеріалів.

7. Які додаткові гіпотези вводяться для стержнів?

8. У чому полягає суть методу перерізів ?

9.Перелічіть внутрішні силові фактори, що діють у поперечному перерізі стержнів.

10. Які системи називаються статично визначеними і статично невизначеними?

Тема 1. Розрахунок систем, що працюють на розтяг-стиск

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. II; 2, р. II; 3, р. І, § 1—11.

Перш ніж приступити до вивчення теми розтяг-стиск, необхідно познайомитися з поняттями напруження і деформація. Повним напруженням в даній точці на даній площадці є границя відношення зусилля, що діє на площадці, до величини площі цієї площадки при прямуванні останньої до нуля

(1.1)

Це векторна величина. Проекція її на нормаль до площини називається нормальним напруженням, а на площину — дотичним напруженням. Деформацією називається відносне видовження елемента

(1.2)

де Δl — абсолютне видовження елемента довжини l .

Надалі необхідно мати на увазі наступні положення. Розтяг-стиск — вид напружено-деформованого стану, при якому в поперечних перерізах бруса (стержня) виникає тільки один силовий фактор — подовжня сила, що визначається методом перерізів. Припущення про те, що нормальні напруження в перерізі розподілені рівномірно, дає можливість визначати їх за формулою

(1.3)

Використання (1.2) і закону Гука (Е — модуль пружності)

(1.4)

приводить до формули для визначення переміщень

(1.5)

Величина ЕF- жорсткість стержня при розтязі-стиску. Формула (1.5) застосовується, якщо N і ЕF постійні по довжині l. Якщо N змінна, наприклад при врахуванні власної ваги, то формула прийме вигляд

(1.6)

При деформуванні в стержні накопичується потенціальна енергія. Величина цієї енергії при постійному зусиллі N визначається для стержня довжиною l за формулою

(1.7)

При нагріванні стержня на Δt °С деформації і видовження підраховуються за формулами:

(1.8)

де α — коефіцієнт температурного розширення матеріалу.

При опрацюванні цього розділу варто ознайомитися з поняттям "коефіцієнт Пуассона"

, (1.9)

що характеризує деформацію в поперечному напрямку. Нагадаємо, що цей коефіцієнт змінюється в межах від 0 (крихкі матеріали) до 0,5 (матеріали, що деформуються без зміни об'єму). При розрахунку статично невизначених систем необхідно:

1. Визначити ступінь статичної невизначеності n.

2. Вибрати основну систему і ввести невідомі.

3. Скласти рівняння статики.

4. Скласти рівняння сумісності деформацій за числом, яке відповідає ступеню статичної невизначеності.

5. Розв'язати отриману систему.

Вихідною при розрахунку на міцність є нерівність

(1.10)

Тут [σ ] - допустиме напруження, рівне [σ] = σ _гр /[n], де σ_гр - граничне напруження, [п] - нормативний коефіцієнт запасу міцності.

Вихідним при розрахунку на жорсткість є нерівність

Δl ≤ [Δl] , (1.11)

де [Δl] — допустиме видовження.

При розрахунках на міцність і жорсткість виділяється три типи задач:

1. Перевірка міцності і жорсткості.

2. Підбір параметрів перерізу.

3. Визначення допустимих навантажень.

Питання, для самоперевірки

1. Що називається напруженням ? Які бувають напруження ?

2. Що таке деформація?

3.Який вид напружено-деформованого стану називається розтяг-стиск?

4. Як підраховується видовження стержня при силовому і температурному впливі?

5. Як визначаються нормальні напруження при розтязі-стиску?

6. Як підраховується потенціальна енергія деформації стержня при розтязі-стиску?

7. Опишіть порядок розрахунку статично невизначених систем при розтязі-стиску.

8. Як проводиться розрахунок на міцність і жорсткість?

9. Перелічіть види розрахунку на міцність і жорсткість.

ПРИКЛАД 1. Нехай стальний стержень має ступінчастий поперечний переріз і навантажений силами Р₁ =40 кН і Р₂=120 кН. Необхідно побудувати епюри подовжніх сил і нормальних напружень, знайти переміщення перерізу D-D і виписати вираз для потенціальної енергії деформації. Розміри стержня наведені на рис. 1а. Прийняти F₁=250 мм², E =2.10⁵ МПа, F₂=400 мм², l₁=1м, l₂=400 мм, l₃=500 мм.

Розв'язання. Для визначення повздовжніх сил застосуємо метод перерізів. Попередньо виділяємо характерні ділянки, границями яких є місця прикладання зосереджених сил і ступінчастої зміни площі перерізів (на рис. 1 ці ділянки позначені І, II, III). На кожній ділянці проведемо переріз і розглянемо рівновагу відсічених частин (див, рис. 1 б, в, г). З умови ΣХ=0знаходимо N₁=40 кН, N₂=40 кН, N₃=-80 кН (рис. 1 д). Напруження знаходять за формулою (1.3). Епюра σ представлена на рис. 1е. Переміщення перерізу відбувається за рахунок деформації ділянок АВ, ВС і СD. Видовження кожної ділянки підраховують за формулою (1.5). В результаті маємо

Потенціальну енергію деформації підраховуємо на ділянках за формулою (1.7).

ПРИКЛАД 2. Для стержня ступінчастого поперечного перерізу, жорстко закріпленого на кінцях і навантаженого силою Р= 6 кН (рис. 2а), перевірити міцність. Перевірити міцність також при охолодженні стержня на 10° С, якщо сила відсутня. Прийняти F =1000 мм² , l₁=4м, l₂ =2 м, l₃ =2 м, Е= 2*10⁵ МПа, α = 12*10 ^-6 '/град, R = 160 МПа.

Розв'язання. Дана система є статично невизначеною (дві реакції А й В і одне рівняння статики). Виберемо основну систему, відкинувши неподатливу опору В, замінивши її вплив силою X (рис. 2,б). Для забезпечення еквівалентності основної і вихідної систем необхідно вимагати, щоб переміщення Δl_в=0 (у вихідній системі тут неподатлива опора). Звідси

Це рівняння служить для визначення X. Для числових даних X = ⅔ Р = 4кН. Тепер неважко побудувати епюру N (мал. 2д) і епюру σ (мал. 2е). Найбільше напруження σ_mах виявилося менше розрахункового опору R. Отже, міцність забезпечена.

Рис. 1 Рис. 2

При розгляді температурної задачі виберемо ту ж основну систему. Переміщення Δl_В повинне складатися з температурного подовження і подовження за рахунок деформації від сили X.

Звідки Х=32 кН.

Епюри N і σ зображені на рис. 2 ж і на рис. 2 з. Найбільше напруження

менше [σ]= 160 МПа . Міцність забезпечена.

ПРИКЛАД 3. Необхідно визначити зусилля і напруження в пружних стержнях системи, зображеної на рис. За, під дією заданих сил. Брус АВ вважати абсолютно жорстким. При розрахунках прийняти Р=20 кН, F =1000 мм², l₁ = l₂ = а = 2м, α = 30°. Якими були б зусилля, якби навантаження було відсутнє, а при збиранні стержень 1 був коротший потрібної величини на δ = 1 мм?

Е = 2 * 10⁵ МПа

Рис. 3

Розв'язання. Розглянута система статично невизначена. Ступінь статичної невизначеності n=1. Число невідомих зусиль в двох стержнях (див. мал. 3 б) на одиницю перевищує число рівнянь статики. Це рівняння буде

або

Ще одне рівняння складається за умовою сумісності деформацій стержнів 1 і 2. Повернемо брус АВ на нескінченно малий кут (мал. Зв). Вертикальні переміщення т.В збігаються з видовженням першого стержня ВВ'=Δl₁. Вертикальне переміщення т.С зв'язано з Δl₁ залежністю, що випливає з ΔСС'С", тобто Δl₂ =СС' sіn α. Але з подібності трикутників

Звідки

Підставляючи сюди формулу (1.5), одержимо

Отже, для визначення N₁ і N₂ маємо систему

2N₁ + N₂ sin α = 5 P;

N₁ sin ² α – 3 N₂ = 0.

Її розв’язком буде

Для числових даних N₁ = 48,98 кН, N₂ = 4,08 кН, відповідно напруження підраховуються за формулою (1.3), дорівнюють : σ₁=4,898 кН/см ²=48,98 МПа, σ₂ =0,408 кН/см² =4,08 МПа.

Нехай тепер навантаження відсутнє і необхідно визначити монтажні зусилля, коли стержень 1 був коротше необхідної довжини на δ. У стержні 1 виникає розтягуюче, а в стержні 2 стискаюче зусилля. Остаточна схема деформування зображена на рис. Зг. Положення точок В і В^/, відстань між якими до монтажу дорівнює δ, після з'єднання - В^// , так що В'В'' = Δl₁, . Відрізок СС''=Δl₂ . Тоді

З подібності трикутників

звідки

.

Це і є рівняння сумісності.

Підставляючи сюди формулу (1.5) (F₁ = ЗF, F₂ = 2F ), одержимо

або

Другим рівнянням для визначення N₁ і N₂ служить рівняння статики

Остаточно

, .

Для вихідних числових даних