Тема 10. Розрахунок прямих стержнів на стійкість
ЛІТЕРАТУРА: 1, р. XIII; 2, р. XV, § 115—119;, 3, р. XIV, § 89, 90, 92, 94.
В усіх попередніх темах розглядалися тільки питання розрахунку на міцність і жорсткість. У даній темі розглядаються методи розрахунку на стійкість. При опрацюванні цієї теми необхідно насамперед звернути увагу на поняття стійкості — властивість системи зберігати свою форму при малих збурюваннях. При центральному стиску досить гнучкого стержня може відбутися втрата стійкості (перехід до нового стану рівноваги при наявності збурювань), якщо зусилля Р перевищує деяке критичне значення, тобто Р>Ркр. При перевищенні Ркр у стержні з’являються суміжні ненульові положення рівноваги і при знятті збурювань стержень залишається в зігнутому стані. Такий стан називається повздовжнім згином. При втраті стійкості можливі два випадки:
а) матеріал стержня залишається пружним — після зняття навантаження відновлюється прямолінійна форма рівноваги;
б) з’являються пластичні деформації і після зняття навантаження залишаються залишкові деформації.
Якщо матеріал стержня залишається пружним (σ < σпроп , σпроп - межа пропорційності), то критична сила визначається за формулою Эйлера
(10.1)
де I min — мінімальний осьовий момент інерції перерізу стержня,
- коефіцієнт приведеної довжини, що залежить від способу закріплення кінців стержня (див. табл. 4),
l - приведена довжина (довжина півхвилі форми втрати стійкості).
Таблиця 4
Значення коефіцієнта
Відповідне критичне напруження дорівнює
,
(10.2)
де - гнучкість стержня, що визначається за формулою
(10.3)
Тут введено позначення для мінімального радіуса інерції
(10.4)
Формула Эйлера (10.1) або (10.2) застосовується, коли критичне напруження не перевищує межі пропорційності пр:
,
(10.5)
.
(10.6)
Якщо умова (10.5) порушується, то замість формули Эйлера можна використовувати формулу Ясинського
(10.7)
Параметри а і b для різних матеріалів приводяться в довіднику. Наприклад, для сталі 3 вони рівні: а =310 Мпа, b=1,14 Мпа.
Розрахунок на стійкість ведеться двома способами:
а) за допустимими навантаженнями, коли
Р
,
(10.8)
де [ny] - нормативний коефіцієнт запасу на стійкість, що звичайно більший, ніж нормативний коефіцієнт запасу на міцність [n]. Критичну силу підраховують при цьому за формулами (10.1) чи (10.2), чи (10.7);
б) за коефіцієнтом повздовжнього згину, коли в якості основної розрахункової умови використовується нерівність
(10.9)
де [] –допустиме напруження при стиску. Коефіцієнт змінюється в межах від 0 до 1 і залежить від гнучкості стержня. Його значення наведені в таблиці 5 (для сталі 2 ÷ сталі 4).
Таблиця 5