Тема 5. Геометричні характеристики поперечних перерізів

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. V; 2, p.VI, § 45-50; 3, p. III, § 25-27.

При опрацюванні даної теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Основними характеристиками поперечного перерізу, що відноситься до декартової прямокутної системи координат є:

• площа

; (5.1)

• статичні моменти

; (5.2)

• осьові моменти інерції

; (5.3)

• відцентровий момент інерції

; (5.4)

• полярний момент інерції

. (5.5)

З наведених формул виходить, що , а може бути як додатнім, так і від'ємним, або рівним нулю.

Момент інерції для найпростіших фігур наведені в табл. 2

Осі , називаються центральними, якщо вони проходять через центр ваги січення, положення якого в початковій системі координат визначається за формулами:

(5.6)

Зверніть увагу, що для центральних осей статичні моменти дорівнюють нулю (). Якщо переріз складається з окремих частин, положення центрів ваги яких відомі, то замість (5.6) маємо

(5.7)

Якщо в перерізі є отвір, то відповідні складові в цих формулах потрібно взяти зі знаком мінус.

При паралельному переносі осей координат, що характеризуються залежностями

(5.8)

осьові і відцентрові моменти інерції змінюються в такий спосіб:

(5.9)

Тут необхідно звернути увага на те, що осі — центральні.

Таблиця 2

№ п/п	Фігура
1
2
3			-	-
4
5
6

При повороті осей на кут (проти ходу годинникової стрілки) моменти інерції змінюються відповідно до формул

;

; (5.10)

.

Зверніть увагу, що інваріантом при повороті осей є сума осьових моментів інерції:

(5.11)

Очевидно, що існують осі, щодо яких і приймають найбільші і найменші значення. Положення цих осей визначається кутом , що знаходиться з рівняння

або , (5.12)

а самі екстремальні значення визначаються за формулою

(5.13)

Осі, відносно яких осьові моменти інерції приймають екстремальні значення, називаються головними. Необхідно звернути увагу на те, що відносно головних осей відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю. Справедливий і зворотний висновок, тобто якщо відносно яких-небудь осей відцентровий момент інерції дорівнює нулю, то ці осі будуть головними й осьові моменти інерції відносно цих осей визначаються згідно (5.13).

Для характеристики інерційних властивостей перерізу часто вводяться так звані радіуси інерції

(5.14)

Зіставлення формул перетворення моментів інерції (5.10) і напружень (3.2) говорить про структурну аналогію. Для моментів інерції також можна дати геометричну інтерпретацію з побудовою круга інерції (круга Мора). При розборі способу побудови круга інерції необхідно звернути увагу на те, як знайти його центр [координати центра : ] і радіус , а також і полюс Р — точку на колі, проведений промінь через яку під кутом до осі при перетині з колом дасть точку, координати якої збігаються з і відносно цієї осі.

Питання для самоперевірки

1. Які величини служать характеристиками поперечних перерізів?

2. Які знаки можуть мати осьові і відцентрові моменти інерції?

3. Як знаходяться координати центра ваги перерізу?

4. Як змінюються моменти інерції при паралельному переносі осей?

5. Як змінюються моменти інерції при повороті осей?

6. Що є інваріантом при повороті осей?

7. Які осі називаються головними центральними осями?

8. Як знаходяться головні центральні осі?

9. Як знаходяться головні моменти інерції? Який зміст має поняття “радіус інерції”?

10. Як будується круг інерції?

ПРИКЛАД 5. Для поперечного перерізу, зображеного на рис.5а, необхідно визначити положення центра ваги, положення головних центральних осей інерції і осьові моменти інерції відносно цих осей; побудувати круг інерції.

Розв’язання. Перш за все для заданих профілів з таблиць у відповідності з ГОСТ 8240-72 і шляхом безпосередніх обчислень з врахуванням табл. 2 знайдемо

Положення центрів ваги і осей і показані на рис. 5б і 5в. Необхідно звернути увагу на те, що вісь співпадає з напрямком осі , а - з напрямом осі . Тому , а Відмітимо, що внаслідок того, що в даних фігур одна з осей є віссю симетрії.

Положення центра ваги знайдемо за формулою (5.7) (рис. 5а).

Рис. 5

В якості допоміжних осей вибираємо осі і . Тоді

Знайдемо відносно цих осей з урахуванням формул (5.9)

Головні відцентрові моменти інерції знайдемо за формулою (5.13)

Для перевірки розглянемо , див. формулу (5.11):

20058,7+5010,6=17922,46+7146,83=25069,3.

Рівність виконується.

Кут нахилу головних осей знайдемо за формулою (5.12)

Одержані значення знаходяться за кругом Мора, який зображений на рис. 5г. Цей круг будується аналогічним чином, як круг напружень.

Нарешті, визначимо головні радіуси інерції за формулами (5.14)