Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Опір матеріалів (Медодичні вказівки).doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
16.12.2018
Размер:
2.15 Mб
Скачать

Тема 9. Розрахунок прямих брусів при складному опорі

ЛІТЕРАТУРА: 1, р. X; 2, р. XI, § 91, 92, 94; 3, р. IV, § 34.

Під складним опором розуміється одночасне здійснення в брусі декількох простих видів деформування. При вивченні теми необхідно звернути увагу на наступні положення.

Серед різноманіття видів складного опору звичайно виділяють ті, що найчастіше зустрічаються : косий згин, позацентрове прикладання сили, поєднання згину з крученням.

Косий згин виникає під дією навантажень, площина дії яких (силова площина) проходить через вісь бруса, але не збігається з жодною з головних площин (площин, де лежать головні осі поперечних перерізів). Вісь бруса після деформації буде кривою, що не лежить у силовій площині. Це є наслідком того, що в даному випадку згин відбувається одночасно в двох головних площинах Ozy і Ozx (осі Ох і Оу — головні, центральні).

Основна особливість розрахунку полягає в розкладанні навантаження в двох головних напрямках і сумісний розгляд прямого згину в двох площинах. При розрахунках на міцність враховують, звичайно, тільки нормальні напруження, що визначаються за формулою

. (9.1)

У цій формулі і згинальні моменти відносно головних центральних осей перерізу, х і у — координати точки, де визначається напруження. У формулі (9.1) кожен з доданків повинен бути взятий зі своїм знаком. Знаки встановлюються за характером деформації бруса і положенням заданої точки. В якості координат необхідно брати їхні абсолютні величини.

Потрібно звернути увагу на особливість деформування балка при косому згині, що полягає у тому, що нульова лінія не збігається з напрямком якої-небудь з головних осей (площин). Її положення визначається рівнянням

, (9.2)

де . (9.3)

Зверніть увагу, що нульова лінія проходить через центр ваги перерізу.

При позацентровому прикладанні поздовжньої сили її дія фактично зводиться до поздовжньої сили і дії двох згинальних моментів: N=P, , [ координати точки прикладання позацентрової сили] . Використання принципу суперпозиції дозволяє одержати формулу для напруження

, (9.4)

або для позацентрового розтягу-стиску

. (9.5)

Нульова лінія визначається з умови :

. (9.6)

Видно, що лінія лежить по іншу сторону від точки прикладання сили. Нульова лінія може проходити поза перерізом, якщо точка прикладання близька до центра маси. При спрямуванні точки прикладання до центру маси нульова лінія “іде в нескінченність”. Варто звернути увагу на вибір знаків у формулі (9.4) при підрахунку нормального напруження. Для цього необхідно провести аналіз знаку напружень від N, і (позитивні при розтягу). Епюру напружень звичайно будують на перпендикулярі до нульової лінії.

При спільній дії поздовжньої сили і згинальних моментів необхідно підраховувати сумарні згинальні моменти щодо головних осей

, , (9.7)

а потім використовувати формулу (9.4).

Варто звернути увагу на те, що в розрахунках при одночасному розтязі-стиску і згині нехтується дією поперечних сил, і дотичні напруження не обчислюються.

При розрахунку на міцність визначається небезпечний переріз за величиною згинальних моментів, а потім у цьому перерізі визначається небезпечна точка у якій діє . Умовою міцності буде

. (9.8)

Ще одним видом складного опору є робота стержня при одночасному розтязі-стиску, згині і крученні. Такий стан виникає, наприклад, у просторових рамах. У цьому випадку можуть діяти практично всі силові фактори: і . При побудові епюр цих факторів застосовується метод перерізів з розглядом рівноваги відсічених частин. Після побудови епюр визначають поперечні перерізи, підозрілі на небезпечні, і в цих перерізах визначаються нормальні і дотичні напруження. Дотичними напруженнями від поперечних сил, як правило, нехтують. При визначенні найбільших напружень використовують наступні формули:

а) для стержня прямокутного поперечного перерізу

,

; (9.9)

б) для стержня круглого поперечного перерізу

(9.10)

При відсутності повздовжнього зусилля перші доданки у формулах для нормального напруження будуть відсутні. У зазначених випадках буде мати місце спрощений плоский напружений стан. При цьому в розрахунках на міцність еквівалентне напруження обчислюється за формулами:

а) для критерію найбільших дотичних напружень (Сен-Венана)

; (9.11)

б) для критерію енергії формозміни (Мізеса)

(9.12)

Для стержня круглого поперечного перерізу, коли

(9.13)

Величина еквівалентного моменту обчислюється наступним чином:

а) для критерію найбільших дотичних напружень (Сен-Венана)

; (9.14)

б) для критерію енергії формозміни (Мізеса)

. (9.15)

Питання для самоперевірки

1. Що таке косий згин?

2. Коли виникає косий згин?

3. Як визначаються напруження при косому згині?

4. Як вибираються знаки у формулі для напружень?

5. Як знаходиться положення нульової лінії?

6. До чого зводиться дія позацентрово прикладеної повздовжньої сили?

7. Як визначаються напруження при позацентровому розтягу-стиску?

8. Як вибираються знаки у формулі для нормальних напружень?

9. Як підрахувати напруження при одночасному розтягу-стиску і згині?

10. Як проводиться розрахунок на міцність при одночасному розтягу-стиску, згині і крученні?

11. За якими формулами підраховуються нормальні і дотичні напруження для стержнів прямокутного поперечного перерізу при одночасному згині і крученні?

12. Як обчислюються напруження для стержнів круглого поперечного перерізу при одночасному згині і крученні?

13. Що таке еквівалентний момент?

14.Як проводиться розрахунок на міцність з використанням еквівалентного моменту?

ПРИКЛАД 9. Балка прямокутного поперечного перерізу знаходиться під дією рівномірно розподіленого навантаження, що діє в площині, що складає кут з площиною Оzх (мал. 10а). Потрібно визначити положення нульової лінії в небезпечному перерізі і величину найбільшого нормального напруження.

Нехай b=20мм, , , , =60°.

Рис. 10 Рис. 11

Розв’язання. Навантаження можна розкласти за двома головними для поперечного перерізу напрямками:

Для кожної з площин епюра моментів буде схожою (див. рис. 10 б і 10 в) і максимальні значення моментів будуть наступними:

Нормальні напруження визначаються за формулою (9.1). Для визначення знаків у цій формулі при обчисленні найбільших напружень на рис. 11 у кутових точках поставлені два знаки, один із яких збігається зі знаком напружень від згину в площині Оzу, другий — від згину в площині Оzх.

Положення нульової лінії визначено згідно (9.2) з умови =0.

,

де

Максимальні напруження, що розтягують, будуть у т. А

кН/мм2

На рис. 11 наведено також епюру нормальних напружень.

ПРИКЛАД 10. На брус таврового перерізу діє стискаюча сила Р=20 кН, прикладена в точці D (рис. 12а). Розміри поперечного перерізу зазначені на рис. 12б. Потрібно знайти положення нульової лінії, визначити найбільші напруження в перерізі, що збігається із жорстким закріпленням.

Розв’язання. У першу чергу необхідно визначити положення центру ваги перерізу і моменти інерції щодо центральних осей, що у силу того, що перетин має вісь симетрії, є також головними. У якості допоміжних осей приймемо осі Охо й Оуо.

(мм)

Моменти інерції визначаємо за формулами:

а) б)

Рис. 12

Координати сили Р у вибраній системі координат будуть наступними:

Тоді

Нормальне напруження визначається за формулою (9.5) ,

Положення нейтральної лінії знайдемо з умови за (9.6)

Положення цієї нейтральної лінії показане на рис. 12 б. Максимальні сумарні напруження будуть у точці D —точці прикладання сили, а максимальні, що розтягують — у точці К.

Для визначення цих напружень необхідно підставити координати цих точок у рівняння для напружень

ПРИКЛАД 11. Для ламаного стержня постійного круглого поперечного перерізу (рис. 13 а) потрібно побудувати епюри згинаючих і крутячих моментів; встановити небезпечний переріз і знайти небезпечні точки; визначити діаметр вала відповідно до критерію енергії формозміни (критерій Мізеса). Нехай

Рис.13

Розв’язання. При побудові епюр скористаємося ковзною системою координат (рис. 13а). Для кожної з прямолінійних ділянок АВ і ВС вибираємо систему координатних осей так, щоб вісь Оz завжди збігалася з поздовжньою віссю стержня, а вісь Оу була вертикальна. У цьому випадку Mz являє собою крутячий момент, a My і – згинальні моменти, що діють відповідно в горизонтальній і вертикальній площинах.

Складаємо аналітичні вирази Мх, Му,Мz для кожної ділянки стержня. Побудова епюр проводиться також за допомогою перерізів. Складемо аналітичний вираз внутрішніх силових факторів для ділянки AB. На цій ділянці (переріз І)

При а при

На ділянці BС (переріз ІІ)

При ,

а при

На ділянці CD (перетин ІІІ)

При

За отриманими значеннями побудовані епюри згинаючих і крутячих моментів (рис. 13 б, в, г).

З розгляду епюр внутрішніх зусиль виходить, що небезпечний переріз знаходиться в защімленні. Діючі в цьому перерізі моменти: .

Загальний згинаючий момент

.

Небезпечні точки в небезпечному перерізі лежать на перпендикулярі до нейтральної лінії, що проходить через центр ваги перерізу і під кутом до осі Ох. Причому . В небезпечних точках має місце спрощений плоский напружений стан. Тому еквівалентне напруження за критерієм текучості Мізеса визначається за формулою (9.12), а умова міцності має вигляд (9.13) з урахуванням (9.15).

, або .

Підставимо числові значення моментів , діючих в небезпечному перерізі, отримаємо величину

.

З умови міцності

d

Приклад 12. Для валу редуктора, розрахункова схема якого зображена на рис. 14 а, побудувати епюри згинних і крутячих моментів. З умови міцності підібрати діаметр валу з використанням третьої теорії міцності – теорії максимальних дотичних напружень (Сен-Венана). При розрахунку прийняти

,

Спочатку визначимо величину з умови рівноваги :

.

Звідси .

Дія сил зводиться до дії сил і моментів, рівних відповідно

.

Система сил, що діє на вал стержень круглого поперечного перерізу), зображена на рис. 14 б. Застосування методу перерізів дозволяє побудувати епюру крутячих моментів (див. рис. 14 в).

Епюри згинальних моментів Мх і My будуються так само, як у прикладі 6 з попереднім визначенням опорних реакцій. Їхні значення наведені на мал. 14 б. При цьому впливом сил, що діють у двох взаємно перпендикулярних площинах, нехтується. Епюри Мх і My зображені на рис. 14г і 14д.

Аналіз отриманих епюр показує, що небезпечним перерізом є переріз А-А, розташований трохи правіше точки прикладання навантажень Рз і Мз.

Рис. 14

Діючий у цьому перетині згинальний момент має найбільшу величину:

Підозру на небезпечне може викликати переріз В-В, де діє найбільший момент Мх. Однак неважко перевірити, що . Дійсно,

Еквівалентне напруження за теорією найбільших дотичних напружень визначається за формулою (9.14). Для перерізу А-А воно дорівнює

Діаметр вала знаходиться з умови міцності (9.13). Враховуючи те, що , одержимо