Тема 2. Модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции
2.1. Статическая модель макроэкономического межотраслевого баланса производства и распределения продукции
Мировая практика свидетельствует о том, что эффективным средством анализа и прогнозирования межотраслевых связей, объемов производства, капитальных вложений, потребления и других экономических показателей является межотраслевой баланс. В развитых капиталистических странах межотраслевой баланс известен как метод «затраты - выпуск». Большую часть экономических исследований посвятил этому методу американский ученый В.В.Леонтьев.
В.В.Леонтьев родился в 1906 году в Петербурге, окончил в 1924 году Ленинградский университет. В последующем работал в Германии, Китае, а с 1931 года переезжает в США, где продолжает научную работу в области экономики, в том числе с использованием схемы межотраслевого баланса. Первоначально схема включала 44-отраслевую таблицу «затраты-выпуск», в дальнейшем на основе рекомендаций Леонтьева в США составлялась таблица, включающая 400 отраслей и подотраслей.1 За разработку метода «затраты-выпуск» и его применение при решении экономических проблем В.Леонтьеву в 1973 году присуждена Нобелевская премия по экономике. Умер В.В. Леонтьев в 1999 году.
Межотраслевой баланс отражает процессы производства, распределения и потребления продукции.
Существуют различные модели межотраслевого баланса, используемые на макроэкономическом и региональном уровнях. Одна из них статическая модель макроэкономического межотраслевого баланса производства и распределения продукции (см.приложение).
Схема межотраслевого баланса имеет 4 квадранта. В 1-м квадранте представлен промежуточный продукт. Промежуточный продукт - это часть валового продукта, которая не выходит из сферы производства, а используется для производственного потребления в качестве сырья, материалов, топлива, энергии, комплектующих изделий. Число отраслей-производителей и потребителей n может включать от нескольких единиц до нескольких сотен.
Во втором квадранте - показатели конечного продукта отраслей. Конечный продукт отрасли характеризует использование продукции за пределами производственного потребления и включает личное и общественное потребление, накопление и сальдо экспорта-импорта. Суммирование промежуточного и конечного продуктов по строкам межотраслевого баланса дает объем валовой продукции соответствующей отрасли i.
В третьем квадранте представлены элементы условно-чистой продукции, в сумме равные стоимости конечного продукта. Суммирование промежуточного продукта и условно-чистой продукции по столбцам позволяет рассчитать объем валовой продукции отрасли j.
Четвертый квадрант может быть использован для перераспределения конечного продукта.
Таким образом, в первом и втором квадрантах отражены важнейшие межотраслевые связи, в первом и третьем квадрантах - важнейшие стоимостные соотношения затрат на производство.
Схема межотраслевого баланса математически может быть представлена следующей системой:
а11х1 + а12х2 + ... + а1jхj + ... + а1nхn + y1 = x1
а21х1 + а22х2 + ... + а2jхj + ... + а2nхn + y2 = x2
……................................................................................... ( 2.1.1 )
аi1х1 + аi2х2 + ... + аijхj + ... + аinхn + yi = xi
...............................................................................................
аn1х1 + аn2х2 + ... + аnjхj + ... + аnnхn + yn = xn
(i, j = 1,2,..., n ),
где yi - конечный продукт, производимый отраслью i;
xi, xj - весь объем производства (валовая продукция
отрасли i, отрасли j).
аij - коэффициенты прямых материальных затрат.
Коэффициенты прямых материальных затрат характеризуют расход продукции отрасли i на производство единицы продукции отрасли j. В матричной форме коэффициенты прямых затрат записывают следующим образом:
a
11
a12
...
a1j
...
a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
A = ... ... ... ... ... ... ( 2.1.2 )
ai1 ai2 ... aij ... ain
... ... ... ... ... ...
a
n1
an2
...
anj
...
ann
aij = zij / xj ; (2.1.3 )
где zij - промежуточный продукт или объем межотраслевых
поставок для производственного потребления из
отрасли i в отрасль j.
Возвратимся к системе ( 2.1.1) и выполним с нею следующие действия:
1.Перенесем из левой части в правую все элементы, кроме y.
2.Поменяем местами левую и правую части.
3.В левой части, где это возможно, вынесем за скобки xj.
В
результате получим:
( 1 - a11 ) x1 - a12 x2 - ... - a1j xj - ... - a1n xn = y1
- a21 x1 + ( 1 - a22 ) x2 - ... - a2j xj - ... - a2n xn = y2
... ... ... ... ... ... …
-ai1 x1 - ai2 x2 - ... + ( 1 - aij )xj - ... - ain xn = yi ( 2.1.4 )
... ... ... ... ... ... ...
-an1 x1 - an2 x2 - ... - anj xj - ... + ( 1 - ann ) xn = y n
Отвлечемся от системы (2.1.4) и произведем вычисления с представленным в векторно-матричной форме математическим выражением вида:
(Е - А) Х, (2.1.5)
где Е - единичная матрица размером n x n,
A - матрица коэффициентов прямых материальных затрат,
Х - вектор-столбец объемов валовой продукции.
Подставим в (2.1.5) Е, A, X и выполним действия. Получим:
(
1 - a11
)
-
a12
... - a1j
... - a1n
x1
- a21 (1 - a22) ... - a2j ... - a2n x2
... ... ... ... ... ... x ... =
-ai1 - ai2 ... ( 1 - aij ) ... - ain xj
... ... ... ... ... ... ...
-an1
-
an2
... - anj
... ( 1 - ann
)
xn
( 1 - a11 ) x1 - a12 x2 - ... - a1j xj - ... - a1n xn
- a21 x1 + ( 1 - a22 ) x2 - ... - a2j xj - ... - a2n xn
... ... ... ... ... ...
= -ai1 x1 - ai2 x2 - ... + ( 1 - aij )xj - ... - ain xn ( 2.1.6)
... ... ... ... ... ...
-an1 x1 - an2 x2 - ... - anj xj - ... + ( 1 - ann ) xn
Сопоставим (2.1.6) и (2.1.4). В левой части системы (2.1.4) имеем математическое выражение (2.1.6). Исходя из этого, (2.1.4) в векторно-матричной форме запишем:
(E - A) X = Y (2.1.7)
Умножим левую и правую части равенства (2.1.7) слева на матрицу (Е - А) - 1:
(E - A) - 1 (E - A) X = (E - A) - 1 Y
(E - A) - 1 (E -A) = E, E X = X,
следовательно, (E - A) - 1 = X (2.1.8)
В уравнении (2.1.8) (Е - А) - 1 - это матрица коэффициентов полных материальных затрат или «матрица Леонтьева».
Сущность коэффициентов полных материальных затрат можно наглядно видеть на примере хлебопекарной промышленности и расходе электроэнергии на выпечку хлеба 2:
Зерно
Металл
Мука
Оборудо-
вание
Станки
Хлеб
Дрожжи
. . . …
Электро-
Электро-
Электро- энергия энергия
энергия
.
. . . . . . . . .
. . . . .
Прямые Косвенные Косвенные
материальные материальные материальные
затраты затраты затраты
1-го порядка 2-го порядка
Полные материальные затраты образуются с учетом прямых и суммы всех косвенных материальных затрат. Коэффициенты полных материальных затрат характеризуют расход продукции отраслей - производителей на производство единицы продукции отраслей - потребителей с учетом всей цепочки взаимоувязанных отраслей. Особенностью «матрицы Леонтьева» является то, что ее элементы и есть коэффициенты полных материальных затрат.
Для нахождения коэффициентов полных материальных затрат на основе коэффициентов прямых затрат используют следующее соотношение:
(E - A) (E - A) - 1 = E (2.1.9)
Если известны элементы матрицы. А, легко вычислить элементы матрицы (Е - А). Обозначим элементы матрицы (Е - А) = В, а элементы искомой матрицы (Е - А) - 1 = С.
Перепишем (2.1.9) с учетом этих обозначений:
b11
b12
... b1j
...
b1n
c11
c12
...
c1j
...
c1n
1
0 ... 0 ... 0
b21 b22 ... b2j ... b2n c21 c22 ... c2j ... c2n 0 1 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... х ... ... ... ... ... ... = ... ... ... ... ... ...
bi1 bi2 ... bij ... bin ci1 ci2 ... cij ... cin 0 0 ... 1 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
bi1
bi2
... bij
... bin
ci1
ci2
... cij
... cin
0
0 ... 1 ... 0
Будем последовательно умножать строки матрицы В на 1-й столбец матрицы С и приравнивать соответствующим элементам 1-го столбца единичной матрицы, т.е.:
b11c11 + b12c 21 + ... + b1jci1 + ... + b1n cn1 = 1
b21c11 + b22c 21 + ... + b2jci1 + ... + b2n cn1 = 0
........................................................................................ ( 2.1.10 )
bi1c11 + bi2c 21 + ... + bijci1 + ... + bin cn1 = 0
...............................................................................................
bn1c11 + bn2c 21 + ... + bnjci1 + ... + bnn cn1 = 0
Получили новую систему из n уравнений с n неизвестными. Решив систему относительно неизвестных с1i (i =1,...n), определим элементы 1-го столбца матрицы С или матрицы Леонтьева.
Аналогичный алгоритм расчета для нахождения 2-го и всех последующих столбцов матрицы С, но с учетом необходимости иметь в правой части систем уравнений свободные члены, равные соответствующим элементам единичной матрицы. Таким образом, будем решать n систем уравнений с n x n неизвестными. Решив эти системы, получим всю матрицу коэффициентов полных материальных затрат.
Из рассмотренных соотношений наиболее важными для прогнозирования экономического и социального развития являются уравнения (2.1.7) и (2.1.8), т.е.:
(E - A) X = Y и (E - A) - 1 Y = X
Задавая значения конечного продукта, можно определить необходимый объем производства валовой продукции. И наоборот, задавая объемы валовой продукции, можно рассчитать конечное потребление. Однако эти расчеты можно осуществить при наличии матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Наиболее сложным является расчет этих коэффициентов. Необходимо учитывать отраслевую специфику, многономенклатурность производства, замены одних материалов другими, влияние цен и др.
В российских условиях в отличие от развитых стран мира значительной сложностью является отсутствие достоверной статистической информации.
В настоящее время коэффициенты полных материальных затрат рассчитывают с использованием компьютеров, для чего имеются стандартные программы.