5.3. Коэффициент корреляции и его свойства

Для оценки тесноты корреляционной зависимости используем линейную зависимость у (5.3.1)

Создается впечатление, что тесноту связи коэффициент регрессии а_ух, т.к. он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется у, если х изменяется на 1 единицу. Однако анализ приводит к выводу о непригодности коэффициента регрессии для оценки тесноты корреляционной зависимости. Такой вывод объясняется следующими причинами:

0. Прямые регрессии могут иметь одинаковые угловые коэффициенты прямых регрессий и коэффициенты а_ух и а_ху, но различную тесноту связи. Ситуацию показывают следующие графики:

а) б)

….. ….. ...……

…. …. ..……

… ….. …….

Точки корреляционного поля а отстоят дальше от линии регрессии, чем точки поля б. Это объясняется большим влиянием неучтенных факторов, и , в случае а, зависимость между х и у менее тесная.

2. Коэффициент регрессии а_ух зависит от единиц измерения переменных. Если в рассмотренном примере величину основных производственных фондов оценивать не в миллионах, а в тысячах рублей, то а_ух увеличится в 1000 раз.

Для исправления а_ух как показателя тесноты связи необходима такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам могли быть сравнимы между собой.

Для этой цели используют среднее квадратическое отклонение S.

Представим уравнение (5.3.1) в эквивалентном виде:

(5.3.2)

В этой системе величина

(5.3.3)

показывает, на сколько величин S_y изменится в среднем y, если x изменится на одно S_x.

Величина r является показателем тесноты связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции). Аналогично формуле (5.3.2) для зависимости х по у можно записать:

(5.3.4)

Отсюда

(5.3.5)

Найдем произведение обеих частей равенств (5.3.3) и (5.3.5):

или

(5.3.6 )

Коэффициент корреляции r переменных х и у по своей величине есть среднее геометрическое коэффициентов регрессии, имеющее их знак.

Вычислим коэффициент корреляции между величиной основных производственных фондов х и суточной выработкой продукции у в рассмотренном нами примере

(радикал берем со знаком (+), т.к. а_ух и а_ху положительны).

Если данные не сгруппированы в виде корреляционной таблицы и представляют n пар чисел ( x_i, y_i), то для вычисления коэффициентов регрессии и корреляции в соответствующих формулах следует положить :

а заменить