10.3.Показатели изменения уровней ряда динамики

Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. К таким показате­лям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста- При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение - базисным.

Абсолютный прирост характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он ра­вен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную ско­рость роста:

(10.1.)

Если к=1, то уровень является предыдущим для данного уров­ня, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянны для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными,

Интенсивность изменения уровня оценивается отношением отчет­ного уровня к базисному, которое всегда представляет собой положи­тельное число.

Показатель интенсивности изменения уровня ряда - в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, приня­то называть коэффициентом роста или темном роста. Иными словами, коэффициент роста и темп роста представляют собой две формы выра­жения интенсивности изменения уровня. Однако необходимо отметить, что ненужно пользоваться одновременно двумя формами, которые по существу идентичны. Разница между ними заключается только в едини­це измерения.

Коэффициент роста показывает во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше едини­цы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего пе­риода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень (часто начальный уровень ряда), либо для каждого последующего предшествующий ему:

или (10.2.)

В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором – о цепных темпах роста.

Наряду с темпом роста можно рассчитать показатель темпа прироста, характеризующий относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня.

Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу:

(10.3.)

Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процен­та прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уров­ня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствую­щему темпу прироста:

(10.4.)

где - обозначение абсолютного значения одного процента прироста.

Для иллюстрации расчетов рассмотренных статистических показа­телей приведем следующий ряд динамики в таблице 10.5.

Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

Таблица 10.5.

Динамика производства газа в регионе за 200а – 200д гг.

(цифры условные)

Годы	Производство	Абсолютный прирост (млн. м³)		Темп роста, в %		Темп прироста, в %		Абсолютное значение одного процента прироста, млн. м³
	(млн. м³)	По сравнению с предыдущим годом	По сравнению с 1991 г.	По сравнению с предыдущим годом	По сравнению с 1991 г.	По сравнению с предыдущим годом	По сравнению с 1991 г.
А	1	2	3	4	5	6	7	8
200а	289	-	-	-	100,0	-	-	-
200б	321	32	32	111,1	111,1	11,1	11,1	2,9
200в	346	25	57	107,8	119,7	7,8	19,7	3,2
200г	372	26	83	107,5	128,7	7,5	28,7	3,4
200д	407	35	118	109,4	140,8	9,4	40,8	3,7
Итого	1735	118	-	-	-	-	-	-

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных равноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле средней арифметической простой и для неравноотстоящих рядов по средней арифметической взвешенной:

(10.5.)

(10.6.)

где - уровень ряда динамики;

- число уровней;

- длительность интервала времени между уровнями.

Так, в таблице 10.5. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень производства газа за 2001 – 2005 гг. Он будет равен 347 млн. м³, то есть .

Средний уровень моментного ряда динамики так исчислить нельзя, так как отдельные уровни содержат элементы повторного счета. Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической:

(10.7.)

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уравнениями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

(10.8.)

где - уровни рядов динамики;

- длительность интервала времени между уровнями.

Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями.

Например, если известны товарные остатки магазина на 1-ое число каждого месяца (тыс. руб.):

1/I 1/II 1/III 1/IV

18 14 16 20

то среднемесячный товарный остаток за 1 квартал по формуле 10.7. составит:

тыс. руб.

Другой пример. Известна списочная численность рабочих организации за некоторые даты 2006 г. (чел.):

1/I 1/III 1/VI 1/IX 1/I-2007

1200 1100 1250 1500 1350

Среднегодовая численность работников за 2006 г. по формуле 10.8. составит:

чел

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Для его определения можно воспользоваться формулой средней арифметической простой:

(10.9.)

или

(10.10.)

Так, для условий нашего примера (см. таблицу 10.5.) средний абсолютный прирост равен 29,5 млн. м³ .

Свободной обобщающей характеристикой интенсивности изменений уровней ряда динамики служит средний темп роста, показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда.

Необходимость исчисления среднего темпа роста возникает вследствие того, что темпы роста из года в год колеблются. Кроме того, средний темп роста часто нужно определять в тех случаях, ко­гда имеются данные об уровне в начале какого-либо периода и в конце его, а промежуточные данные отсутствуют. Такого рода средний темп роста можно исчислить, если положить в основу расчетов рост не в арифметической прогрессии, которая характеризуется постоянной раз­ностью, а в геометрической (a, aq, aq²,...,aqⁿ), которая характеризуется постоянным отношением, называемым знаменателем прогрессии (q). Вопрос, следовательно, состоит в том, чтобы найти этот знаменатель. Знаменатель геометрической прогрессии (q) определяется делением по­следующего уровня прогрессии на его предыдущий, при делении n-го уровня на первый, получаем:

отсюда следует:

(10.11.)

где – первый член прогрессии.

Зная q, мы точно можем определить какую тенденцию развития явления имеет геометрическая последовательность, которая применяет­ся тогда, когда определяющий показатель является не суммой значений, а их произведением. Следовательно, во всех тех случаях, где варианты связаны между собой не знаком сложения, а знаком произведения, мож­но вычислить среднюю геометрическую. Обычно средний темп роста вычисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффици­ентов роста:

(10.12.)

Например, средний темп роста производства газа за 1991 – 1995 гг. (см. таблицу 10.5.) равен:

или 108,9%

Поскольку всякий темп роста является отношением уровней ряда динамики, так, что ; в формуле средней геометрической темпы роста заменяются соответствующим отношением уравнений. Заменив темпы роста выражающими их отношениями и учитывая, что эти величины перемножаются, найдем подкоренное выражение как:

Следовательно, средний темп роста может быть выражен формулой:

(10.13.)

Продолжим наш пример (см. таблицу 10.5.). Средний темп роста производства газа за 2001 – 2005 гг. будет равен:

или 108,9%

Когда приходится вести расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (равноотстоящие ряды динамики), то пользуются средними геометрическими, взвешенными по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

(10.14.)

где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста;

∑ - сумма отрезков времени периода.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо вначале найти средний темп роста, а затем уменьшить его на единицу или 100%:

(10.15.)