6.4. Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Рассмотрим определение моды и медианы по не сгруппированным данным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.).

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6

Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб., то она и будет модальной.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб., следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вари­ант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальном закону рас­пределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим при­мером.

Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют дохо­ды в интервале от 100 до 1000 $ в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 $:

№ п/п 1 2 3 4 … 50 51 … 99 100

Доход 100 104 104 107 … 162 164 … 200 50000

($)

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600-700 $, который не только в не­сколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 $, позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
52	12
53	48
54	56
55	60
56	14
Всего	190

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

(6.16.)

где n – объем совокупности.

В нашем случае

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сде­лать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предпри­ятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведение отдельных расчетов на основе следующих формул:

(6.17.)

где - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i – величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

и

(6.18.)

где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i – величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующая медианному;

- частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 6.5.

Информация, подобная представленной в этой таблице, необходи­ма для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в ко­нечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Таблица 6.5.

Распределение населения города по уровню среднедушевого денежного дохода в январе – августе отчётного года.

Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), тыс. руб.	Удельный вес населения, %
100 и менее	2,4
100-200	15,4
200-300	20,1
300-400	17,2
400-500	12,8
500-600	9,2
600-700	6,5
700-800	4,5
800-900	3,2
900-1000	2,3
свыше 1000	6,4
Всего	100,0

Интервал с границами 200 – 300 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу (6.17.), определим моду:

тыс. руб.

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае – 50%):

Интервал	Накопленная частота, %
100 и менее	2,4
100-200	17,8
200-300	37,9
300-400	55,1

Мы определили, что медианным является интервал с границами 300 – 400. Определим медиану:

тыс. руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если - имеет место правосторонняя асимметрия, при следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 260 тыс. руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 370 тыс. руб. при среднем уровне 435 тыс. руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов, что позволяет предполагать о достаточной емкости рынка дорогих товаров повышенного качества и товаров престижной группы.