9.2.Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описы­вается уравнениями:

прямой

гиперболы (9.3)

параболы

и так далее.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графиче­ски, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если ре­зультативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это сви­детельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной свя­зи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической профессии, а факторный значительно быстрее, то ис­пользуется параболическая или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии (, , - в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квад­ратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблю­дений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (, ), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпири­ческих (фактических) значений результативного признака от теоретиче­ских, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров ли­нейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет сле­дующий вид:

(9.4.)

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюде­ния).

В уравнениях регрессии параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков; коэффициент регрессии показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

Например, имеются данные, характеризующие деловую активность закрытого акционерного общества (ЗАО): прибыль (млн. руб.) и затраты на 1 руб. произведенной продукции.

Таблица 9.2.

Зависимость между прибылью ЗАО и затратами на 1 руб. произведенной продукции

№ п/п	Прибыль (млн. руб.)	Затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп.)
1	221	96	9216	21216	247
2	1070	77	5929	82390	1013
3	1001	77	5929	77077	1013
4	606	89	7921	53934	530
5	779	82	6724	63878	811
6	789	81	6561	63909	852
Итого	4466	502	42280	362404	4467

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Система нормальных уравнений для данного приема имеет вид:

Отсюда: ;

Следовательно,

На практике исследования часто проводятся по большому числу наблюдений. В этом случае исходные данные удобнее представлять в сводной групповой таблице. При этом анализу подвергаются сгруппиро­ванные данные и по факторному (х) и по результативному (у) признакам, то есть уравнения парной регрессии целесообразно строить на основе сгруппированных данных.

Если значения х и у заданы в определенных интервалах (а, b), то для каждого интервала сначала необходимо определить середину (х'/у' = (а+b)/2), а затем уже коррелировать значения х' и у' и строить уравне­ния регрессии между ними.

Например, определим зависимость между величиной уставного капитала и числом занятых на предприятиях, выставивших акции на чековые аукционы в 2007 г. в одном из регионов, который характеризуется следующими данными:

Таблица 9.3.

Распределение предприятий, выставивших акции на чековые аукционы в 2007 г., по величине уставного капитала и числу занятых в одном из регионов

Уставный капитал (млн. руб.)	Число занятых (чел.)					Число предприятий,
		14-70	70-126	126-182	182-238
		42	98	154	210
745-2684 2684-4624 4624-6564 6564-8503 8503-125842	1714,5 3654,0 5594,0 7533,5 67172,5	4 1 - 1 2	6 3 1 1 -	2 - 1 2 1	3 - - - 2	15 4 2 4 5	2517,5 14616,0 11188,0 30134,0 335862,5	2904363 1227744 1409688 3374995 44199505
Число предприятий,	-	8	11	6	5	30	417518,0	53533813
	-	336	1078	924	1050	3388
		14112	105644	142296	220500	482552

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов уравнения регрессии примет вид:

где n = 30 – число анализируемых предприятий;

- число предприятий, согласно распределению, соответственно по факторному и результативному признакам;

- значения результативного и факторного признака по конкретной группе предприятий.

Так для первой группы:

;

Таким образом, поставив в систему суммарные значения, получим:

Отсюда