3.5.2. Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая каноническим уравнением

называется однополостным гиперболоидом. Постоянные положительны и называются полуосями гиперболоида.

1. Как и эллипсоид, эта поверхность центральная с центром симметрии в начале координат; оси координат являются осями симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии однополостного гиперболоида.

2. Рассмотрим сечения гиперболоида координатными плоскостями XOZ и YOZ. Сечение плоскостью XOZ задается уравнениями

,

определяющими гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OX, OZ и пересекающую ось OX в точках , .

Сечение плоскостью YOZ определяется уравнениями

,

задающими гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OY, OZ и пересекающую ось OY в точках , .

Рассмотрим теперь сечение гиперболоида плоскостями z = h. Эти сечения определяются уравнениями

.

Отсюда видно, что любая плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

, ,

расположенному симметрично относительно плоскостей XOZ и YOZ; величины , имеют наименьшее значение при h = 0, иначе говоря, самых малых размеров эллипс получается в сечении координатной плоскостью XOY (z = 0), этот эллипс называется горловым сечением однополостного гиперболоида, его уравнение имеет вид ; при возрастании значения и бесконечно возрастают.

Сопоставляя изложенное, можно сказать, что однополостный гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от горлового сечения. Этот гиперболоид имеет три плоскости симметрии, при данном выборе системы координат эти плоскости совпадают с координатными плоскостями XOY, XOZ, YOZ (рис. 11)

При = однополостный гипербо-лоид превращается в гиперболоид враще-ния , он может быть получен вращением гиперболы , вокруг оси OZ.

Рис. 11.

3.5.3. Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая каноническим уравнением

называется двуполостным гиперболоидом.

Величины положительны и называются полуосями двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид - центральная поверхность с центром в начале координат; оси координат являются его осями симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида.

2. Рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями. Сечение плоскостью XOZ задается уравнениями:

и представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OX, OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, -с).

Сечение плоскостью YOZ определяется уравнениями

и задает гиперболу, расположенную симметрично относительно осей OY и OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, -с).

Рассмотрим теперь сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости XOY (z = h), эти сечения задаются уравнениями

.

Отсюда видно, что при > c плоскость z = h пересекает двуполостный гиперболоид по эллипсу с полуосями , , расположенному симметрично относительно плоскостей XOZ и YOZ; при возрастании величины , возрастают; если , убывая, приближается к , то , убывают, причем при имеем =0, =0; это означает, что эллипс, образуемый сечением плоскостью z = c, или z = -c, вырождается в точку, т.е. плоскости касаются гиперболоида; при <c сечения определяют мнимый эллипс, т.е. при <c плоскость z=h не пересекается с двуполостным гиперболоидом.

Т

Рис. 12

аким образом двуполостный гиперболоид (рис. 12) есть поверхность, состоящая из двух отдельных «полостей» (отсюда название – «двуполостный»), каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.