Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
posled_POLUMARKOVSKIYe_PROTsYeSS_I_SPYeTsIAL_N_....doc
Скачиваний:
14
Добавлен:
02.12.2018
Размер:
1.77 Mб
Скачать

2.3. Варианты пуассоновского потока событий

А) Стационарный пуассоновский поток(простейший)

Если λ(t) = λ = const, то получившийся поток будет стационарным пуассоновским потоком. Для него Λ(t0 ,t) = λ (tt0) и

. (11)

Выведем еще несколько формул, касающихся этого потока.

А.1. Плотность вероятностей для длин интервалов между моментами наступления событий простейшего потока.

Пусть τ = tktk-1 есть длина интервала между моментами наступления событий. Обозначая его плотность вероятностей через можно записать

p(τ) = λe-λτ, τ ≥ 0.

А.2. Отсутствие последействия

Найдем P{τ > x + t | τ > t}. Смысл этой вероятности – это вероятность того, что новое событие потока не наступит еще в течении времени , если известно, что оно уже не наступило в течении времени .

Имеем

.

Здесь использовано то, что событие { τ > x + t ˄ τ > t } = { τ > x + t }. Таким образом, независимо от того, что событие не наступило в течении времени t, оставшееся до его наступления время распределено по тому же закону, что и исходное время между событиями, независимо от того, какое время t прошло. В этом и проявляется отсутствие последействия в пуассоновском потоке.

А.3. Условная равномерность наступления событий

Пусть мы имеем временной интервал длительности T. Пусть t1, t2, …, tn есть моменты наступления событий на этом интервале. Тогда формула (10) примет вид

pn (t1, t2, …, tn) = λne-λT.

Так как вероятность наступления n событий на интервале [0,T] равна (λT)neT/n!, то условная плотность вероятностей моментов наступления событий t1, t2, …, tn при условии, что их наступило ровно n, равна

pn (t1, t2, …, tn | n)/ Tn,

и она не зависит ни от , ни от , , …, . Это говорит о том, что в данном случае , , …, распределены равномерно по интервалу (с учетом их упорядочивания, естественно; это упорядочивание проявляется в сомножителе ).

Б) Эрланговский поток k-го порядка

Предположим, что в исходном пуассоновском потоке постоянной интенсивности λ после наступления какого-то события следующие (k – 1) событие пропадают и появляется только k-е по счету событие. Получающийся поток называется эрланговским потоком k-го порядка.

Пусть pk (τ) есть плотность вероятностей длин интервалов между моментами наступления событий в таком потоке. Тогда

,

так как на интервале (0,τ) наступило (хоть и пропали) k – 1 событие, а на интервале [τ,τ + dτ] ровно одно (-е по счету). Поэтому

.

В получившейся формуле обычно заменяют λ на kλ, чтобы сохранить за λ смысл интенсивности потока, и пишут pk (τ) в виде

. (12)

Эрланговский поток можно интерпретировать еще и так: каждое событие, прежде чем появится на свет, должно пройти k фаз, каждая из которых имеет длительность, распределенную с плотностью вероятностей p(τ) = (λk)ekτ, т.е. распределенной по экспоненциальному закону.

Поток называется гиперэрланговским, если p(τ) имеет вид

, (13)

где все Ck ≥ 0 и .

В) Пуассоновский неординарный поток

Рассмотрим поток событий, в котором выполняется свойства стационарности и отсутствия последействия, но не выполняется свойство ординарности.

Пусть события появляются в моменты t1 , t2 , t3,… «пачками», так что в момент tk появляются сразу ηk событий. Будем считать, что ηk есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением

P{ ηk = n} = fn.

Такой поток называется простым (или пуассоновским) неординарным (или групповым) потоком однородных событий.

Найдем распределение Pk (t) числа событий потока наступивших на интервале длиной t. Пусть νt – число событий наступивших на этом интервале, и Nt – число моментов времени, в которые наступали группы событий, то есть

Nt = max {n: 0 < tn < t}.

Тогда . Введем производящую функцию

,

так как все независимы и одинаково распределены. Введем функцию

,

имеющую смысл производящей функции числа событий в группе. Тогда

. (14)

Вероятности Pk (t) в принципе можно определить из формул

, .

Найдем еще среднее число событий, наступивших на интервале (0, t). Имеем

,

где . Отсюда интенсивность такого потока равна

,

где – среднее число событий в группе. Смысл этой формулы очевиден.

Г) Простой поток разнотипных событий

Пусть {tn} моменты, образующие пуассоновский поток событий интенсивности λ, а σn – независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения из множества целых чисел {1, 2,…,k}.

Если σn = σ(tn) = i, то в момент tn происходит событие типа i. Обозначая pi n = i} мы получим простой поток разнотипных событий.

Обозначая через νi (t) – число событий типа i на интервале (0,t) определим производящую функцию

.

Для вычисления явного вида этой функции введем величины

Тогда и мы имеем

,

где учтено, что в разные моменты времени величины σn независимы и одинаково распределены. Так как σni принимают значения 0 или 1 и значение 1 принимают только одна из них, то

.

Поэтому

. (15)

Отсюда следует, что νi (t) есть независимые пуассоновские потоки событий с параметрами λpi, и мы наблюдаем сумму (суперпозицию) этих потоков.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]