Глава 2. Теория потоков событий

2.1. Определения и терминология

Случайным потоком однородных событий, или точечным случайным процессом, будем называть последовательность t₁, t₂, t₃, … моментов наступления рассматриваемых событий.

Описать такой процесс можно тремя способами:

1. Задать статистические свойства моментов наступления событий t₁, t₂, t₃, …

2. Задать статистические свойства длин τ_i интервалов между моментами наступления событий.

3. Задать статистические свойства случайного процесса m(t), где m(t) – число событий наступивших в потоке за время t.

Очевидно, что от одного описания можно перейти к другому, так как

τ₁ = t₁, τ₂ = t₂ – t₁, …, τ_i = t_i – t_{i -1},

t₁ = τ₁, t₁ = τ₁ + τ₂, .

Обычно предпочитают использовать описание потока через длины интервалов между моментами наступления событий в потоке, либо через случайный процесс m(t) – число событий, наступивших в потоке за время t. Говоря о случайных потоках, обычно интересуются наличием или отсутствием следующих свойств.

А. Стационарность

Возьмем на временной оси непересекающихся интервалов длиной Δ_i, i = и пусть η_i – число событий, происшедших на интервале Δ_i. Поток называется стационарным, если вероятности

P{ η_i = k}, k ≥ 1, ,

не зависят от местонахождения -го интервала на оси времени, а определяются лишь его длиной. Смысл этого определения состоит в том, что вероятностные свойства потока не зависят от начала отсчета времени.

Б. Последействие

Если η₁, η₂, …, η_n – независимые случайные величины, то говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последействия. Смысл этого определения заключается в том, что наступление (или не наступление) событий на каком-то интервале не зависит от того, сколько событий появилось на каких-то других интервалах.

В. Ординарность

Обозначим P_>1(t₀ , t) вероятность появления более одного события на интервале [t₀; t]. Если

,

то поток называется ординарным. Смысл этого определения заключается в том, что наступление более одного события на бесконечно-малом интервале Δt есть бесконечно-малая величина более высокого порядка, чем Δt. Более образно – на бесконечно малом интервале времени не может наступить более одного события.

Интенсивность и параметр потока

Пусть P₁(t₀ , t) есть вероятность того, что на интервале [t₀; t] наступит ровно одно событие.

Величина

называется параметром потока.

Обозначим через m(t₀ , t) среднее число событий, наступивших на интервале [t₀; t]. Величина

называется интенсивностью потока.

Легко сообразить, что для ординарного потока параметр потока и его интенсивность равны между собой. Не очень строго это может быть показано так:

.

В силу ординарности потока, вторая сумма есть бесконечно-малая величина по сравнению с t – t₀ (здесь, конечно, главная нестрогость: ряд бесконечный, при k →∞, все может быть и не так). Тогда, деля на t – t₀ и переходя к пределу t →t₀, мы и получим, что λ(t₀) = µ(t₀).

В дальнейшем, для ординарных потоков мы не будем делать разницы между интенсивностью потока и его параметром. Заметим лишь, что для неординарных потоков всегда λ(t₀) ≤ µ(t₀), так как m(t₀ ,t) ≥ P₁(t₀ , t).