5.3. Аппроксимация допредельного распределения

5.3.1. Аппроксимация второго порядка допредельного распределения

Равенство (36) запишем в виде

,

умножая которое на , получим

,

интегрируя это равенство по u в интервале ( - π, π) и принимая во внимание свойство

получим аппроксимацию второго порядка допредельного распределения вероятностей

, (37)

где функция h₂ (u,t) определяется равенством (36).

Совершенно аналогично определяются аппроксимации более высокого порядка допредельного распределения вероятностей числа событий, наступивших в потоке за время t, при известных асимптотиках соответствующих порядков.

5.3.2. Гауссовская аппроксимация

Аппроксимацию второго порядка перепишем в виде

.

Обозначив для P(m,t) получим

(38)

Предел при t →∞ правой части этого равенства обозначим

и найдём вид функции f(z).

Очевидно,

.

Так как

,

следовательно,

поэтому из (38) получим приближённое равенство

, (39)

которое будем называть гауссовской аппроксимацией допредельного распределения P(m,t).

Очевидно, что формула (39) в численной реализации гораздо проще чем, полученная выше формула (37).

5.4. Метод асимптотического анализа mmp-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока

Как было указано выше, MMP-поток определяется набором неотрицательных величин λ_k и цепью Маркова k(t), заданной матрицей Q её инфинитезимальных характеристик.

Значения цепи Маркова k(t) = k, определяющие условные интенсивности λ_k наступления событий в потоке, будем называть состояниями MMP-потока.

Значения инфинитезимальных характеристик q_kk определяют продолжительности времени пребывания потока в k-ом состоянии.

В системе уравнений для MMP-потока обозначим получим систему

. (40)

Выше было рассмотрено асимптотическое условие растущего времени t = Tτ, при T →∞.

В этом разделе рассмотрим асимптотическое условие предельно редких изменений состояний MMP-потока, формализуя которое, положим при ε→0. При выполнении этого условия продолжительность времени пребывания потока в k-ом состоянии неограниченно возрастает, что оправдывает название рассматриваемого асимптотического условия.

Систему (1.67) перепишем в виде

(41)

Будем полагать, что для решения H(k,u,t) этой системы выполняются начальные условия

H(k,u,0) = R(k),

где значения R(k) определены выше.

Решение H(k,u,t) системы (1.68), зависящее от малого параметра ε, обозначим

H(k,u,t) = F(k,u,t,ε) (42)

тогда для F(k,u,t,ε) получаем следующую задачу Коши

(43)

Эту задачу будем решать в асимптотическом условии ε→0

5.4.1. Асимптотика первого порядка

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 5. Предельное при ε→0 значение F₁(k,u,t) решения F₁(k,u,t,) задачи (43) имеет вид

F₁(k,u,t) = R(k)exp{λ_k(e^ju – 1)t}. (44)

Доказательство.

В задаче (43) выполним предельный переход при ε→0, получим равенства

которые представляют собой совокупность по всем k независимых задач Коши, каждая из которых имеет следующее решение

F₁(k,u,t) = R(k)exp{λ_k(e^ju – 1)t}.

совпадающее с (43).

Теорема доказана.

Следствие. В условии предельно редких изменений состояний MMP-потока распределение вероятностей P₁ (m,t) числа m(t) событий потока, наступивших за время t, является взвешенной с весами R(k) суммой пуассоновских распределений с параметрами λ_kt, то есть имеет вид

(45)

Доказательство.

Так как для характеристической функции величины m(t) можно записать равенство

то при ε→0 в силу (42) и (44) имеет место приближённое (асимптотическое) равенство

из которого следует равенство (45).

Следствие доказано.

Равенство (44) будем называть асимптотикой первого порядка в условиях предельно редких изменений состояний MMP-потока.

Равенство (45) будем называть аппроксимацией первого порядка допредельного распределения в асимптотическом условии предельно редких изменений состояний MMP-потока.