4.6. Метод характеристических функций для анализа потоков
Определим функции
где
– мнимая единица.
Для таких функций, очевидно, можно записать
Из систем (4 – 8), можно получить системы уравнений для функций H(k, u, t).
Для MMP-потока
.
Для синхронного MAP-потока
.
Для общего MAP-потока
Аналогично MMP и MAP-потокам для рекуррентного и полумарковского потоков определим функции
,
тогда из уравнений (9) –(11) для функций H(k, z, u, t) получим уравнения.
Для рекуррентного потока
.
Для потока марковского восстановления
.
Для полумарковского потока
.
Системы уравнений для функций H(k, u, t), H(k, z, u, t) и H(s, z, u, t) запишем в матричном виде, обозначив векторы
H(u, t) = {H(1, u, t), H(2, u, t), …},
H(z, u, t) = {H(1, z, u, t), H(2, z, u, t), …},
и матрицы:
Q – матрица инфинитезимальных характеристик qνk,
I – единичная диагональная матрица,
Λ– диагональная матрица с элементами λk по главной диагонали,
B – матрица из элементов dνk qνk при ν ≠ k и λk при ν = k,
P – матрица переходных вероятностей вложенной цепи Маркова для потока марковского восстановления и полумарковского потока,
D(x) – диагональная матрица с элементами Ak(x) по главной диагонали для потока марковского восстановления,
A(x) – полумарковская матрица для полумарковского потока.
Для MMP-потока
.
Для MAP-потока
.
Для рекуррентного потока
(скалярное уравнение)
.
Для потока марковского восстановления
.
Для полумарковского потока
.
Отметим важную особенность этих уравнений. Уравнения для MMP и MAP-потоков отличаются лишь обозначением матриц Λ и B. Уравнения для потоков марковского восстановления и полумарковских потоков отличаются лишь обозначением матриц PD(z) и A(z). Более того, уравнения для рекуррентного и полумарковского потоков отличаются лишь размерностью, так как в первом случае это скалярное уравнение, решением которого является скалярная функция, а во втором случае это уравнение матричное, решением которого является вектор-функция.
Из этих уравнений нетрудно получить значения интенсивностей рассматриваемых потоков, а также средние значения числа событий, наступивших в этих потоках за время t.
Естественно, что найденных характеристик (интенсивностей и средних значений) недостаточно для полного анализа рассматриваемых потоков, поэтому обсудим метод нахождения распределений вероятностей P(m, t) = P(m(t) = m) – числа событий, наступивших за время t.
4.7. Исследование моделей потоков
4.7.1. Исследование модели map-потока
Основное уравнение для MAP-потока имеет вид
.
(12)
Для нахождения его частного решения определим начальное условие в виде
H(u, 0) = R , (13)
где R – вектор стационарного распределения вероятностей значений цепи Маркова k(t), управляющей MAP-потоком.
Стационарное распределение R является решением системы уравнений
RQ = 0, RE = 1,
где E – единичный вектор-столбец.
Решение уравнения (12) методом преобразования Фурье по переменной t
Применяя преобразование Фурье по переменной t, найдём решение задачи (12-13), которое однозначно определяет распределение вероятностей
P(m, t) = P(m(t) = m)
числа событий, наступивших в MAP-потоке за время t.
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Распределение вероятностей
P(m, t) = P(m(t) = m)
числа событий, наступивших в MAP-потоке за время t, определяется следующим равенством
.
(14)
Доказательство.
Преобразование Фурье вектор функции H(u, t) по переменной t обозначим
,
(15)
тогда
.
Выполнив преобразование Фурье по t левой и правой частей уравнения (12), получим равенство
,
из которого следует, что
.
(16)
В силу определения
,
поэтому
,
(17)
где
P(m, t) = P(m(t) = m).
Из (15) и (17) получим
(18)
Из (16) можно записать
.
Из этого равенства и равенства (18)
следует, что для любых значений
выполняются равенства
,
определяющие преобразования Фурье по t от функций P(m, t), поэтому, выполнив обратное преобразование Фурье по переменной α, получим для распределения вероятностей P(m, t) явные выражения в квадратурах
,
совпадающее с равенством (14).
Теорема доказана.