5.1.1 Асимптотика первого порядка
Обозначив ε = 1/T, в основном уравнении для MAP-потока выполним замены
εt = τ, u = εw, H(u, t) = F1 (w, τ, ε) (1)
получим
,
(2)
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Предельное при 0 значение F1(w,) решения F1(w,,) уравнения (2) имеет вид
F1 (w, τ) = Re jwλτ, (3)
где вектор строка R определена выше, а величина λ определяется равенством
λ = RBE, (4)
здесь E – единичный вектор столбец.
Доказательство.
В уравнении (2) выполним предельный переход при 0, получим, что F1(w,) является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений
F1(w,)Q = 0,
поэтому F1(w,) имеет вид
F1(w,) = R Φ1(w,) (5)
здесь R – вектор стационарного распределения вероятностей значений цепи Маркова k(t), а функцию Φ1(w,) определим следующим образом.
Просуммируем все уравнения системы (2), запишем
.
Поделив левую и правую части этого равенства на и, полагая 0, получим, что для F1(w,) выполняется равенство
,
подставляя в которое (5), для функции Φ1(w,) получим обыкновенное дифференциальное уравнение
здесь λ определяется равенством (1.31). Решение Φ1(w,) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Φ1(w,0) = 1 имеет вид
Φ1 (w, τ) = e jwλτ.
Подставляя это выражение в (1.32), получим, что выполняется равенство (1.30).
Теорема доказана.
В силу замены (1) и равенства (3) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство
H(u, t) = F1(w,,) ≈ F1(w,) = Re juλt (6)
Тогда для характеристической функции Me jum(t) величины m(t) запишем
Me jum(t) = H(u, t)E = e juλt.
Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для MAP-потока.
Для нахождения аппроксимации распределения вероятностей P(m, t) величины m(t) рассмотрим асимптотику второго порядка.
5.1.2. Асимптотика второго порядка
В основном для анализа MAP-потоков уравнении, выполним замену
,
(7)
тогда получим уравнение для H2 (u, t) в виде
(8)
здесь I – диагональная единичная матрица.
Обозначив ε2 = 1/T, в уравнении (8) выполним замены
ε2 t = τ, u = εw, H2(u, t) = F2 (w, τ, ε), (9)
получим
(10)
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 2. Предельное при 0 значение F2 (w,τ) решения F2(w,,) уравнения (10) имеет вид
,
(11)
где
величина
определяется равенством
κ2 = RBE + 2f2(B – λI)E = λ + 2f2(B – λI)E, (12)
здесь вектор f2 удовлетворяет условию f2E = 0 и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
f2Q + R(B – λI) = 0. (13)
Доказательство.
Доказательство этой теоремы выполним в три этапа.
Этап 1. В уравнении (10) выполним предельный переход при 0, получим уравнение
F2 (w,τ)Q = 0,
решение F2 (w,τ) которого имеет вид
F2 (w,τ) = R Φ2 (w,τ), (14)
совпадающей с (5).
Этап 2. Решение F2(w,,) уравнения (10) запишем в виде разложения
F2(w,,) = Φ2 (w,τ){R + jεwf2} + Ο(ε2) (15)
Подставляя (15) в (10), можно записать
Ο(ε2) = Φ2 (w,τ){ R + jεwf2}{Q + jεw(B – λI)} =
= Φ2 (w,τ){RQ + jεwf2Q + jεw(B – λI)}.
Так как выполняется равенствоRQ = 0 то вектор f2 является решением системы (13).
Этап 3. Для нахождения скалярной функции Φ2 (w,τ), определяющей в равенстве (14) вектор функцию F2 (w,τ), просуммируем все уравнения системы (10), получим равенство
.
В это равенство подставим разложение (15), запишем
.
В силу равенства (4) R(B – λI)E = 0 поэтому при 0 последнее равенство примет вид
.
В силу полученного уравнения и равенства (12), это уравнение перепишем в виде
,
следовательно, его решение Φ2 (w,τ), удовлетворяющее начальному условию Φ2 (w,0) = 1 определяется равенством
.
(16)
Подставляя это выражение Φ2 (w,τ) в (15), получим равенство (11).
Теорема доказана.
В силу замены (9) и равенства (11) для функции H2 (u,t) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство
,
(17)
из которого, в силу (7) , получим
.
(18)
Это равенство будем называть асимптотикой второго порядка.
Совершенно аналогично определяются асимптотики более высокого порядка.