Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
posled_POLUMARKOVSKIYe_PROTsYeSS_I_SPYeTsIAL_N_....doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
02.12.2018
Размер:
1.77 Mб
Скачать

4.7.4. Решение основного уравнения для полумарковского потока

Теперь можно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Распределение вероятностей

P(m, t) = P(m(t) = m).

числа событий, наступивших в SM-потоке за время t, определяется следующими равенствами

,

. (29)

Доказательство

Преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z от вектор функции H(z, u, t) обозначим

,

тогда

.

Обозначим также

,

Выполнив преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z правой и левой частей уравнения (22), получим уравнение

относительно вектор функции Φ(α, u, t) и начальные условия Φ(α, u, t) = R*( α).

Решение этой задачи Коши имеет вид

, (30)

в котором необходимо определить вектор . Выполним это следующим образом.

Так как при 0 < |u| < π

,

то из (30) можно записать равенство

,

из которого получим, что преобразование Фурье по переменной t от вектор функции имеет вид

,

следовательно, для обратного по переменной преобразования получим

. (31)

Подставляя найденное выражение для вектора в (30) получим явное выражение для Φ(α, u, t).

Так как целью наших исследований является нахождение лишь маргинального распределения вероятностей

,

то, выполним в найденных векторах предельный по переход и покомпонентное суммирование.

Из определения вектора

и равенств (30) и (31) получим

.

Суммируя компоненты найденного вектора, получим

. (32)

Используя равенства (24) и (25), найдём R*(α)

.

Подставляя это выражение в (26), для характеристической функции числа событий, наступивших за время в полумарковском потоке, получим

. (33)

Так как

,

то, раскладывая функцию h(u, t) из (32) по степеням функции eju, для вероятностей P(m, t) получим равенства

,

,

совпадающие с (29). Здесь очередной раз использовано равенство r = rP.

Теорема доказана

Глава 5. Исследование специальных потоков событий методом асимптотического анализа

Исследование потоков, выполненное в предыдущей главе методами интегральных преобразований, матричной экспоненты и численными методами имеют определённые ограничения на область их применимости, главным из которых является продолжительность интервала наблюдения за потоком и количество событий, наступивших за это время, а также определённые ограничения на частоту изменения состояний этих потоков. Представляется целесообразным дополнить эти исследования асимптотическими методами анализа потоков в условиях растущего времени, а также в условии предельно редких изменений состояний рассматриваемых специальных потоков.

5.1. Метод асимптотического анализа map-потоков в условии растущего времени

Методом асимптотического анализа в теории массового обслуживания (в теории потоков) будем называть исследование уравнений, определяющих какие-либо характеристики системы (потока) при выполнении некоторого асимптотического (предельного) условия, вид которого будет конкретизирован для различных моделей и поставленных задач исследования.

Для анализа потоков имеем два класса уравнений: для распределений P(k, m, t), и для характеристических функций H(k, u, t).

Будем рассматривать уравнения для характеристических функций в асимптотическом условии растущего времени t.

Формализуя асимптотическое условие, определим параметр T, принимающий достаточно большие значения, то есть будем полагать, что в схеме серий T →∞, положим t = τT, где τ – переменная, имеющая смысл нормированного времени.

Рассмотрим MAP-поток. Основное для его анализа уравнение имеет вид

,

в котором компоненты H(k, u, t) вектора H(u, t) определены равенством

,

а P(k, m, t) – двумерное распределение, из которого необходимо найти одномерное маргинальное распределение вероятностей

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]