- •Полумарковские процессы и специальные потоки однородных событий
- •Глава 1. Цепи Маркова с непрерывным временем
- •1.1. Определение и основные свойства цепи Маркова с непрерывным временем
- •1.2. Дифференциальные уравнения Колмогорова
- •1.2.1. Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова
- •1.2.2. Прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова
- •1.3. Финальные вероятности
- •1.4. Время перехода из одного состояния в другое для цепей Маркова с непрерывным временем
- •1.5. Статистический смысл финальных (стационарных) вероятностей
- •1.6. Время пребывания цепи Маркова в j-ом состоянии
- •1.6. Процесс размножения и гибели
- •1.7. Метод Хинчина
- •1.8. Процесс чистого размножения
- •1.8. Пуассоновский процесс
- •1.9. Метод производящих функций
- •Глава 2. Теория потоков событий
- •2.1. Определения и терминология
- •А. Стационарность
- •Интенсивность и параметр потока
- •2.2. Пуассоновский поток событий
- •2.3. Варианты пуассоновского потока событий
- •2.4. Потоки восстановления
- •2.5. Распределение величины перескока и недоскока для потоков восстановления
- •2.6. Парадокс остаточного времени
- •2.7. Основное свойство рекуррентных потоков
- •Глава 3. Полумарковские процессы
- •3.1. Определение основных понятий теории полумарковских процессов
- •3.2. Методы исследования полумарковских процессов
- •3.2.1. Метод дополнительной переменно для исследования процесса марковского восстановления
- •3.2.2. Исследование полумарковского процесса методом дополнительной переменной y(t)
- •3.2.3. Метод дополнительных переменных z(t) и s(t) исследования полумарковского процесса
- •Глава 4. Специальные (коррелированные) потоки событий
- •4.1. Модулированные пуассоновские потоки (mmp-потоки)
- •4.3. Bmap-потоки
- •4.4. Полумарковские потоки
- •4.5. Уравнения Колмогорова в теории потоков событий
- •4.5.1. Потоки с дискретной компонентой
- •4.5.2. Потоки с непрерывной компонентой
- •4.6. Метод характеристических функций для анализа потоков
- •Для рекуррентного потока
- •Для потока марковского восстановления
- •Для полумарковского потока
- •4.7. Исследование моделей потоков
- •4.7.1. Исследование модели map-потока
- •4.7.2. Решение уравнения (12) методом матричной экспоненты
- •4.7.3. Исследование модели полумарковского потока
- •Нахождение распределения r(z)
- •4.7.4. Решение основного уравнения для полумарковского потока
- •Глава 5. Исследование специальных потоков событий методом асимптотического анализа
- •5.1. Метод асимптотического анализа map-потоков в условии растущего времени
- •5.1.1 Асимптотика первого порядка
- •5.1.2. Асимптотика второго порядка
- •5.2. Метод асимптотического анализа sm-потоков в условии растущего времени
- •5.2.1. Асимптотика первого порядка
- •5.2.2. Асимптотика второго порядка
- •5.3. Аппроксимация допредельного распределения
- •5.3.1. Аппроксимация второго порядка допредельного распределения
- •5.3.2. Гауссовская аппроксимация
- •5.4. Метод асимптотического анализа mmp-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока
- •5.4.1. Асимптотика первого порядка
- •5.4.2. Асимптотика произвольного порядка
- •Литература
4.7.4. Решение основного уравнения для полумарковского потока
Теперь можно доказать следующее утверждение.
Теорема 3. Распределение вероятностей
P(m, t) = P(m(t) = m).
числа событий, наступивших в SM-потоке за время t, определяется следующими равенствами
,
. (29)
Доказательство
Преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z от вектор функции H(z, u, t) обозначим
,
тогда
.
Обозначим также
,
Выполнив преобразование Фурье-Стилтьеса по переменной z правой и левой частей уравнения (22), получим уравнение
относительно вектор функции Φ(α, u, t) и начальные условия Φ(α, u, t) = R*( α).
Решение этой задачи Коши имеет вид
, (30)
в котором необходимо определить вектор . Выполним это следующим образом.
Так как при 0 < |u| < π
,
то из (30) можно записать равенство
,
из которого получим, что преобразование Фурье по переменной t от вектор функции имеет вид
,
следовательно, для обратного по переменной преобразования получим
. (31)
Подставляя найденное выражение для вектора в (30) получим явное выражение для Φ(α, u, t).
Так как целью наших исследований является нахождение лишь маргинального распределения вероятностей
,
то, выполним в найденных векторах предельный по переход и покомпонентное суммирование.
Из определения вектора
и равенств (30) и (31) получим
.
Суммируя компоненты найденного вектора, получим
. (32)
Используя равенства (24) и (25), найдём R*(α)
.
Подставляя это выражение в (26), для характеристической функции числа событий, наступивших за время в полумарковском потоке, получим
. (33)
Так как
,
то, раскладывая функцию h(u, t) из (32) по степеням функции eju, для вероятностей P(m, t) получим равенства
,
,
совпадающие с (29). Здесь очередной раз использовано равенство r = rP.
Теорема доказана
Глава 5. Исследование специальных потоков событий методом асимптотического анализа
Исследование потоков, выполненное в предыдущей главе методами интегральных преобразований, матричной экспоненты и численными методами имеют определённые ограничения на область их применимости, главным из которых является продолжительность интервала наблюдения за потоком и количество событий, наступивших за это время, а также определённые ограничения на частоту изменения состояний этих потоков. Представляется целесообразным дополнить эти исследования асимптотическими методами анализа потоков в условиях растущего времени, а также в условии предельно редких изменений состояний рассматриваемых специальных потоков.
5.1. Метод асимптотического анализа map-потоков в условии растущего времени
Методом асимптотического анализа в теории массового обслуживания (в теории потоков) будем называть исследование уравнений, определяющих какие-либо характеристики системы (потока) при выполнении некоторого асимптотического (предельного) условия, вид которого будет конкретизирован для различных моделей и поставленных задач исследования.
Для анализа потоков имеем два класса уравнений: для распределений P(k, m, t), и для характеристических функций H(k, u, t).
Будем рассматривать уравнения для характеристических функций в асимптотическом условии растущего времени t.
Формализуя асимптотическое условие, определим параметр T, принимающий достаточно большие значения, то есть будем полагать, что в схеме серий T →∞, положим t = τT, где τ – переменная, имеющая смысл нормированного времени.
Рассмотрим MAP-поток. Основное для его анализа уравнение имеет вид
,
в котором компоненты H(k, u, t) вектора H(u, t) определены равенством
,
а P(k, m, t) – двумерное распределение, из которого необходимо найти одномерное маргинальное распределение вероятностей
.