- •Полумарковские процессы и специальные потоки однородных событий
- •Глава 1. Цепи Маркова с непрерывным временем
- •1.1. Определение и основные свойства цепи Маркова с непрерывным временем
- •1.2. Дифференциальные уравнения Колмогорова
- •1.2.1. Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова
- •1.2.2. Прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова
- •1.3. Финальные вероятности
- •1.4. Время перехода из одного состояния в другое для цепей Маркова с непрерывным временем
- •1.5. Статистический смысл финальных (стационарных) вероятностей
- •1.6. Время пребывания цепи Маркова в j-ом состоянии
- •1.6. Процесс размножения и гибели
- •1.7. Метод Хинчина
- •1.8. Процесс чистого размножения
- •1.8. Пуассоновский процесс
- •1.9. Метод производящих функций
- •Глава 2. Теория потоков событий
- •2.1. Определения и терминология
- •А. Стационарность
- •Интенсивность и параметр потока
- •2.2. Пуассоновский поток событий
- •2.3. Варианты пуассоновского потока событий
- •2.4. Потоки восстановления
- •2.5. Распределение величины перескока и недоскока для потоков восстановления
- •2.6. Парадокс остаточного времени
- •2.7. Основное свойство рекуррентных потоков
- •Глава 3. Полумарковские процессы
- •3.1. Определение основных понятий теории полумарковских процессов
- •3.2. Методы исследования полумарковских процессов
- •3.2.1. Метод дополнительной переменно для исследования процесса марковского восстановления
- •3.2.2. Исследование полумарковского процесса методом дополнительной переменной y(t)
- •3.2.3. Метод дополнительных переменных z(t) и s(t) исследования полумарковского процесса
- •Глава 4. Специальные (коррелированные) потоки событий
- •4.1. Модулированные пуассоновские потоки (mmp-потоки)
- •4.3. Bmap-потоки
- •4.4. Полумарковские потоки
- •4.5. Уравнения Колмогорова в теории потоков событий
- •4.5.1. Потоки с дискретной компонентой
- •4.5.2. Потоки с непрерывной компонентой
- •4.6. Метод характеристических функций для анализа потоков
- •Для рекуррентного потока
- •Для потока марковского восстановления
- •Для полумарковского потока
- •4.7. Исследование моделей потоков
- •4.7.1. Исследование модели map-потока
- •4.7.2. Решение уравнения (12) методом матричной экспоненты
- •4.7.3. Исследование модели полумарковского потока
- •Нахождение распределения r(z)
- •4.7.4. Решение основного уравнения для полумарковского потока
- •Глава 5. Исследование специальных потоков событий методом асимптотического анализа
- •5.1. Метод асимптотического анализа map-потоков в условии растущего времени
- •5.1.1 Асимптотика первого порядка
- •5.1.2. Асимптотика второго порядка
- •5.2. Метод асимптотического анализа sm-потоков в условии растущего времени
- •5.2.1. Асимптотика первого порядка
- •5.2.2. Асимптотика второго порядка
- •5.3. Аппроксимация допредельного распределения
- •5.3.1. Аппроксимация второго порядка допредельного распределения
- •5.3.2. Гауссовская аппроксимация
- •5.4. Метод асимптотического анализа mmp-потоков в условии предельно редких изменений состояний потока
- •5.4.1. Асимптотика первого порядка
- •5.4.2. Асимптотика произвольного порядка
- •Литература
4.3. Bmap-потоки
Потоки данного класса предложены Д.Лукантони в 1991 году. Они получили название групповых марковских входящих потоков (Batch Markovian Arrival Process – BMAP).
Заявки в BMAP-потоке поступают группами случайного числа. Моменты реализации групп образуют MAP-поток. Будем полагать, что количество заявок в различных группах стохастически независимы и определены распределениями dkk(ν), ν = 0,1,2,…, если управляющая потоком цепь Маркова находится в состоянии k, а также распределениями в момент перехода цепи из состояния в состояние .
Таким образом, для задания BMAP-потока необходимо задать инфинитезимальную матрицу Q, набор неотрицательных чисел λk, а также набор распределений вероятностей числа ν заявок в группах, поступающих в потоке.
Очевидно, что идентификация реальных потоков моделями BMAP-потоков представляет определённые проблемы в связи с необходимостью оценки значений большого числа параметров таких потоков, поэтому ниже будут использованы, главным образом модели MAP-потоков.
4.4. Полумарковские потоки
Рассмотрим двумерный однородный марковский случайный процесс {ξ(n), τ(n)} с дискретным временем n = 0,1,2,3,…, первая компонента ξ(n), которого принимает значения из некоторого дискретного множества. Для определённости будем полагать, что
ξ(n) = k = 1,2,3,… .
Вторая компонента τ(n) рассматриваемого процесса принимает неотрицательные значения (вообще говоря, из непрерывного множества).
По определению, марковской переходной функцией F(k2,x; k1,y) двумерного однородного марковского случайного процесса {ξ(n), τ(n)} называется
F(k2, x; k1, y) = P{ξ(n +1) = k2, τ(n + 1) < x | ξ(n) = k1, τ(n) = y}. (1)
Будем рассматривать только такие двумерные случайные процессы {ξ(n), τ(n)}, для марковских переходных функций которых выполняются равенства
F(k2, x; k1, y) = F(k2, x; k1), (2)
то есть условное распределение (1.1) не зависит от второго условия (не зависит от значений второй компоненты). В этом случае марковскую переходную функцию F(k2, x; k1) будем обозначать
=.
Определение. Матрицу A(x), элементами которой являются функции , будем называть полумарковской.
Определение. Случайный поток однородных событий
t1 < t2 < … < tn < …
будем называть полумарковским или SM-потоком, заданным матрицей A(x), если последовательность моментов tn наступления его событий определяется равенством
tn+1 = tn + τ(n + 1). (3)
В силу свойства (2), первая компонента ξ(n) рассматриваемого двумерного марковского процесса {ξ(n), τ(n)} также является марковским процессом, точнее цепью Маркова с дискретным временем и матрицей P вероятностей переходов за один шаг, определяемой равенством
P = A(∞).
Эта цепь Маркова для рассматриваемого SM-потока называется вложенной по моментам времени (3).
Вторая компонента τ(n), вообще говоря, является немарковским процессом (последовательностью зависимых случайных величин), но для её элементов можно определить условные функции распределения
,
а также по формуле полной вероятности в стационарном режиме и безусловную функцию распределения
,
где r(k) – стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова ξ(n), которое определяется системой уравнений
.
Эту систему уравнений можно переписать в матричном виде, обозначив векторы
r = {r(1), r(2), …}, E = {1,1,…}T,
следующим образом
r = rP, rE = 1.
Определение. Если компоненты ξ(n), τ(n) двумерного процесса {ξ(n), τ(n)}, условно независимы, то есть для элементов полумарковской матрицы A(x) выполняется равенство
Akν(x) = Ak(x)Pkν,
то полумарковский поток будем называть потоком марковского восстановления.