2.2. Пуассоновский поток событий

Пуассоновский поток событий является одним из самых «любимых» потоков в теории массового обслуживания. Он характеризуется выполнением двух свойств:

1.Отсутствие последствия.

2.Ординарность.

Прежде, чем выводить формулы, введем обозначения и сделаем некоторые следствия из ординарности. Пусть P_k (t₀ ,t), есть вероятность того, что на интервале [t₀; t] наступит ровно k событий. Тогда, в силу определения интенсивности, функция

(1)

будет интенсивностью пуассоновского потока. Это же соотношение можно записать так

P₁(t ,t +Δt) = λ(t)Δt +ο(Δt). (2)

В силу ординарности потока

, при k ≥ 2,

и поэтому при k ≥ 2

P_k (t ,t +Δt) = ο(Δt). (3)

Так как выполнено условие нормировки

P₀ (t ,t +Δt) + P₁ (t ,t +Δt) + P_>1 (t ,t +Δt) = 1,

то

P₀ (t ,t +Δt) = 1– P₁ (t ,t +Δt) – P_>1 (t ,t +Δt) = 1– λ(t)Δt +ο(Δt). (4)

Соотношения (2 – 4) являются основными для дальнейшего.

Выведем систему дифференциальных уравнений, определяющую P_k (t₀ ,t). Учитывая отсутствие последствия, можно записать

P₀ (t ₀,t +Δt) = P₀ (t₀ ,t) P₀ (t ,t +Δt) = P₀ (t₀ ,t)[ 1– λ(t)Δt +ο(Δt)],

отсюда

.

Переходя к пределу Δt → 0, получим

Аналогично, для P_k (t₀ ,t) можно записать

Используя соотношения (2 – 4) запишем

P_k (t ₀,t +Δt) = P_k (t₀ ,t) [1– λ(t)Δt +ο(Δt)] + P_k-1 (t₀ ,t) [λ(t)Δt +ο(Δt)] + ο(Δt),

откуда

и после предельного перехода Δt → 0, получим

.

Итак

, k ≥ 1. (5)

Для однозначного решения этой системы надо добавить граничное условие, которое естественно брать в виде

(6)

так как в силу ординарности потока на интервале нулевой длины с вероятностью 1 не будет ни одного события.

Рассмотрим решение системы (5) методом производящих функций. Введем функцию

.

Умножая первое уравнение системы (5) на z⁰, а все остальные – на соответствующие z^k и суммируя все равенства, получим

.

Поэтому окончательно

. (7)

Это уравнение легко решается методом разделения переменных

,

откуда, интегрируя в пределах (t₀,t) получим

.

Но, как следует из граничного условия (6),

F(t₀ ,t₀ ,z) = 1,

и поэтому

,

где

.

Разлагая в ряд Тейлора, запишем

,

откуда получаем основную формулу, относящуюся к пуассоновскому потоку

. (8)

Эта формула, вместе с формулами (2 – 4) и позволяет решать практически все задачи, относящееся к пуассоновскому потоку.

Приведем несколько примеров на использование этих формул.

1. Пусть мы рассматриваем интервал [t₀, ∞) и нас интересует момент t_i наступления i-го события. Как найти плотность вероятностей p_i(t) величин t_i.

Рассматривая интервал [t,t + dt], вероятность того, что именно на этом интервале наступит i-е по счету событие, можно записать двумя путями.

,

так как на интервале [t₀, t) наступило i – 1 событие, а на интервале [t, t + dt] ровно одно (уже -е по счету). Сокращая на dt, получим

.

2. Рассмотрим интервал [t₀,t₀ + T] и найдем плотность вероятностей того, что на нем наступили n событий в моменты времени t₁, t₂, …, t_n. Выделяя бесконечно-малые интервалы [t_i,t_i + dt_i], будем иметь

,

так как на интервалах [t₀, t₁], [t₁ + dt₁, t₂], …, [t_n + dt_n, T] не наступит ни одного события, а на интервалах [t_i, t_i + dt_i] ровно по одному. Сокращая на dt₁dt₂…dt_n, получим

. (10)

3. Пусть по моментам появления событий на интервале [t₀,T] мы составляем статистику

,

где f(·) некоторая гладкая функция. Найдем M{ξ} и D{ξ}.

А) Вспоминая выражение для p_i(t) получим

.

Но и поэтому

.

Б) Второй путь выглядит так

.

Так как на интервале [t₀, t_i) наступило i –1 событие, а на интервале (t_i, T) – N – i событий, то

.

Поэтому

,

где у переменной интегрирования t_i опущен индекс i. Вспоминая формулу бинома Ньютона, получим

,

и следовательно

.

Для вычисления дисперсии вычислим M{ξ²}. Имеем

По аналогии с тем, что было при вычислении , имеем

.

Далее

.

Легко видеть, что

,

так как на интервале [t₀, t_i) произошло i – 1 событий, а на интервале (t_i ,t_j ) – (j – i – 1) событие. Обозначая в интеграле t_i через u, а t_j через ν, получим

.

Но

,

и поэтому

.

Легко получить, что равно этому же выражению. Поэтому

,

и окончательно

.