5.2. Метод асимптотического анализа sm-потоков в условии растущего времени
Рассмотрим SM-поток, заданный полумарковской матрицей A(x). Основное для его анализа уравнение имеет вид
,
(19)
где компоненты H(s,z,u,t) вектора H(z,u,t) определены равенством
,
а P(s,z,m,t) – трёхмерное распределение, из которого необходимо найти одномерное маргинальное распределение
.
(20)
Уравнение (19) будем решать в асимптотическом условии растущего времени, формализуя его следующим образом
t = τT, T→∞.
5.2.1. Асимптотика первого порядка
Обозначив ε = 1/ T, в уравнении (19) выполним замены
εt = τ, u = εw, H(z,u, t) = F1 (z,w, τ, ε), (21)
получим
.
(22)
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 3. Предельное при 0 значение F1(z,w,) решения F1(z,w,,) уравнения (22) имеет вид
F1(z,w,) = R(z) exp{jwλτ}, (23)
где параметр λ и вектор функция R(z) определены выше.
Доказательство
В уравнении (22) выполним предельный переход при ε→0, получим, что F1(z,w,) является решением уравнения
,
совпадающим с уравнением для R(z), поэтому F1(z,w,) имеет вид
F1(z,w,) = R(z)Φ1(w,τ), (24)
где R(z) – вектор функция стационарного распределения вероятностей значений двумерного случайного процесса {s(t), z(t)}, найденная выше, а скалярную функцию Φ1(w,τ) определим следующим образом.
Для нахождения маргинального распределения (20) в трёхмерном распределении необходимо выполнить предельный переход при z→∞ и суммирование по s. Выполним эти операции в уравнении (22), получим равенство
.
Поделив левую и правую части этого равенства на ε и полагая ε →∞, получим
.
Подставляя сюда произведение (24), для функции Φ1(w,τ) получим уравнение
,
решение которого, удовлетворяющее начальному условию Φ1(w,0) = 1 имеет вид
Φ1(w,τ) = exp{jwλτ}.
Подставляя это выражение в (24), получим (23), что доказывает сформулированную теорему.
В силу замены (21) и равенства (23) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство
h1 (u,t) = Me jum(t) = exp{juλt}.
Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для SM-потока.
5.2.2. Асимптотика второго порядка
В уравнении (19) выполним замену
H(z,u,t) = H2(z,u,t) exp{juλt},
тогда для H2(z,u,t) получим уравнение
.
(25)
Обозначив ε2 = 1/ T, в этом уравнении выполним замены
ε2 t = τ, u = εw, H2(z,u, t) = F2 (z,w, τ, ε), (26)
получим
.(27)
Можно доказать следующее утверждение.
Теорема 4. Предельное при 0 значение F2(z,w,) решения F2(z,w,,) уравнения (27) имеет вид
,
(28)
где
параметр
имеет вид
,
(29)
а вектор функция f2(z) является таким решением уравнения
,
(30)
которое удовлетворяет условию f2(∞)E = 0.
Доказательство
Этап 1. В уравнении (27) выполним предельный переход при 0, получим уравнение
,
(31)
решение F2(z,w,) которого имеет вид
F2 (z,w,τ) = R(z) Φ2 (w, τ). (32)
Этап 2. Решение F2 (z,w,τ,ε) уравнения (27) найдём в виде разложения
,
(33)
в котором вектор функция f2(z) удовлетворяет условию f2(∞)E = 0.
Подставляя это разложение в (27), получим равенство
(34)
в котором
,
поэтому при 0 равенство (34) можно переписать в виде уравнения
относительно неизвестной вектор функции f2(z). Полученное уравнение совпадает с (30).
Этап 3. Для нахождения скалярной функции Φ2 (w, τ), определяющей в (28) вектор функцию F2 (z, w, τ), в уравнении (27) выполним предельный переход при z →∞ и суммирование компонент вектор функций, получим равенство
.
В это равенство подставим разложение (33), запишем
.
Выполнив здесь несложные преобразования, при 0 получим уравнение
,
где
применено равенство
.
Решение Φ2 (w, τ) полученного уравнения, удовлетворяющее начальному условию Φ2 (w, 0) = 1, имеет вид
,
(35)
в котором значение параметра κ2 определяется равенством
,
совпадающим с (29).
Подставляя (35) в (32), получим равенство (28).
Теорема доказана.
В силу равенства
H(z,u,t) = H2(z,u,t) exp{juλt},
замены (26) и равенства (28) можно записать приближённое (асимптотическое) равенство
.
(36)
Полученное равенство будем называть асимптотикой второго порядка для SM-потока, вид которого совпадает с (18) для MAP-потока.
Достаточно очевидно, что совершенно аналогично можно найти асимптотики более высокого порядка для SM-потока.