4.2 Уравнение Бернулли

Другое важное уравнение, описывающее установившееся движение жидкости (газа), получено Бернулли

.

Выведем это уравнение. Изменение полной энергии ∆W равно разности энергий втекающей и вытекающей жидкости (рис.18). Эти энергии равны сумме кинетической и потенциальной энергий

.

Изменение энергии, в соответствии с законом ее сохранения, численно равно работе по

перемещению массы ∆m .

_Рис.18

.

Так как сила F, действующая на площадь S создает давление , то , и поэтому

.

Итак, имеем

.

Разделим на (следует из уравнения непрерывности) и получим

.

То есть,

при установившемся движении сумма динамического, гидравлического и статического давлений – величина постоянная в любом сечении трубопровода.

. (45)

Разберем два примера, связанных с практическим использованием уравнения Бернулли в сельском и лесном хозяйстве.

Первый – аэрация почвы (рис. 19)

Рис.19

Для горизонтальной трубы h=0 и уравнение Бернулли принимает вид

.

В каком сечении скорость больше? В соответствии с уравнением неразрывности , очевидно в S₂. А где статическое давление больше? . Там где скорость меньше, то есть в S₁.

Второй пример – объяснение явления вырывания деревьев в лесном массиве под действием ветра (рис. 20).

Если степь, то дерево ломается, а если лесной массив? Дерево вырывается с корнем под действием статического давления.

Рис. 20

4.3 Реальная жидкость

Реальная жидкость и реальный газ обладают вязкостью (внутренним трением).

Сила внутреннего терния выражается законом Ньютона:

, (46)

где η – вязкость жидкости,

∆υ/∆х – градиент скорости,

∆S – площадь соприкосновения.

Вязкость жидкости значительно больше вязкости газа. Единицей измерения вязкости является

.

Пуазейль установил, что

скорость жидкости при ламинарном движении по трубе круглого сечения пропорциональна градиенту давления, квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна вязкости (рис. 21).

(47)

Или

. (48)

Рис.21

Объем жидкости (газа), протекающей по трубе, пропорционален четвертой степени радиуса трубы, времени и градиенту давления, а обратно пропорционален вязкости.

4.4 Закон Стокса

Сила внутреннего трения особенно просто выражается для тел в виде шара, движущихся равномерно с небольшой скоростью. Сила сопротивления пропорциональна вязкости η, радиусу r шара и скорости υ движения. Это закон Стокса

. (49)

Он широко используется для экспериментального определения вязкости жидкостей (рис.22)

При равномерном движении: .

- по закону Архимеда .

- по закону Стокса .

Имеем .

. Рис.22

Так как , имеем

, (50)

где ρ_т и ρ_ж – плотности тела и исследуемой жидкости.

Это формула Стокса для экспериментального определения коэффициента внутреннего трения вязкости.

4.5 Основы гемодинамики

Применительно к биофизике уравнение Бернулли, строго говоря, неприемлемо, так как кровь изменяет вязкость и объем при изменении давления и скорости, вследствие нахождения в ней растворимых компонентов – газов и органических полимеров.

Транспорт крови в кровеносных сосудах происходит под действием работы сердца и при этом важными составляющими процесса являются:

- стационарность и неразрывность потока крови и обеспечении тканей организма кислородом,

- особенности сердечной деятельности,

- распределение энергии и скоростей в кровеносной системе,

- распределение давления в сосудах.

В стационарном потоке соблюдается закон неразрывности струи. Ткани живого организма получают кислород за счет его диффузии в капиллярах из эритроцитов при наличии градиента концентрации последних n_эр > n′_эр. При быстром относительном движении эритроцитов в тканях интенсивность обмена уменьшается, но в живом организме скорость движения эритроцитов в тканевых капиллярах значительно уменьшается, так как суммарное сечение всех капилляров значительно больше площади сечения аорты.

Действительно при постоянном градиенте давления и неразрывности потока крови через аорту и капилляры проходят одинаковые объемы, поэтому

,

где S_а и S_к – сечение аорты и капилляра соответственно, n – количество капилляров, υ_а и υ_к – скорость эритроцитов в аорте и капилляре.

Так при сечении аорты S_а=6см²=6*10^-4м² и сечении одного капилляра S_к=10^-9м² при одновременной работе одной трети всех капилляров n=20*10⁹ и скорости крови в аорте υ_а=0,5м/с имеем

.

При небольшой скорости движения эритроцитов увеличивается диффузия кислорода в ткани.

Сердце живого организма можно представить как насос импульсного действия (рис.23).

Фаза сокращения (систола) длится примерно 0,3с. При этом желудочком создается избыточное (по сравнению с атмосферным) артериальное давление ≈120 мм*рт.ст.=0,16*10⁵Па и в артерию поступает ≈60 см³ крови за одно сокращение (у человека). От артерии 2 через капилляры 3 кровь поступает во все органы и возвращается в сердце через вены 4 в период расслабления (диастола), при котором избыточное давление уменьшается до нуля, то есть до атмосферного. Это большой круг кровообращения. Одновременно через правый желудочек венозная кровь поступает в легочную артерию

Рис. 38 6, создавая давление в 5 раз меньше чем в аорте, образуя малый круг кровообращения. При этом мощность малого круга составляет 20% мощности большого круга

Рис.23

кровообращения.

При длительности систолы 0,3с мощность сердца составляет 3 Вт, а работа, совершаемая им за сутки при длительности периода (систола + диастола) 1с будет равна 86400 Дж=86,4 кДж (порядка 0,1 л.с.).

Равномерность движения крови по сосудам при импульсной работе сердца обеспечивается за счет перехода кинетической энергии при систоле в потенциальную энергию упругой деформации тканей за счет содержания в них эластина – растягивающегося на 200%, мышечных волокон – 50% и коллагена – 20%.

При этом скорость волны определяется формулой

,

где Е – модуль упругости стенок сосудов, h – толщина, ρ – плотность, d – диаметр сосуда.

Частота сокращений стенок артерий – пульс характеризует работу сердца и является одним из наиболее широко используемых диагностических тестов.

Таким образом, имеет место – скорость распространения механических колебаний 1500 м/с, скорость пульсовой волны – 10 м/с, скорость кровотока в аорте – 0,5 м/с и скорость в капиллярах 0,02 мм/с.

Давление крови в сосудах уменьшается за счет потерь энергии потока крови при трении о стенки сосудов, что приводит к затуханию амплитуды колебаний давления, падение которого составляет 25% в аорте и 75% - в капиллярах от общего давления ∆Р в системе.