3.10. Переходные процессы в электромеханических приборах

Общие замечания. Для понимания свойств электромеханических приборов рассмотрим уравнение движения подвижной части этих приборов. Из теоретической механики известно, что при вращении твердого тела вокруг оси произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело, относительно той же оси, т. е.

На подвижную часть измерительного механизма при ее движе­нии действуют следующие моменты:

а. Вращающий момент, определяемый принципом действия изме­рительного механизма (§ 3.2); в общем виде вращающий момент является функцией измеряемой величины х и угла поворота подвиж­ной части, т. е.

б. Противодействующий момент, обусловливаемый закручива­нием упругих элементов подвижной части,

Знак «минус» означает, что противодействующий момент направ­лен в сторону, противоположную вращающему.

в. Момент сил, тормозящих (успокаивающих) колебания под­вижной части, который можно выразить в таком виде:

где Р – коэффициент успокоения.

г. Момент трения M_f в керновых опорах, если таковые имеются. Подставляя значения моментов в формулу (3.76), получим

Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено точно или приближенно для конкретных измерительных механизмов.

В качестве примера рассмотрим теорию движения подвижной части магнитоэлектрического гальванометра.

Теория движения подвижной части магнитоэлектрического галь­ванометра. Как было показано в § 3.2, вращающий момент магнито­электрического измерительного механизма выражается формулой

В магнитоэлектрических гальванометрах используется магнито–индукционное успокоение. Коэффициент успокоения Р можно представить в виде суммы двух слагаемых Р = Р₁ + Р₂, где Р₁ – коэффициент успокоения рамки вследствие ее трения о воздух; Р2 – коэффициент магнитоиндукционного успокоения.

Коэффициент Р₁ не поддается изменению или регулировке в уже изготовленном приборе; в первом приближении момент успоко­ения вследствие трения рамки о воздух пропорционален угловой скорости движения рамки, т. е.

Значение коэффициента Р₂ может быть определено путем сле­дующих рассуждений. При повороте рамки от начального положе­ния на угол α поток Ф, пронизывающий ее контур, изменится и, следовательно, в обмотке рамки возникнет э. д. с.

поскольку при радиальном магнитном поле в зазоре, в котором поворачивается рамка, Ф = Bsα.

Э. д. с. е в обмотке рамки гальванометра, если рамка замкнута на некоторое внешнее сопротивление, создает ток

где R_г и R_вн – сопротивления обмотки рамки и той внешней цепи, на которую она замкнута.

В результате взаимодействия этого тока с магнитным потоком постоянного магнита возникает тормозящий движение рамки момент

Таким образом, суммарный тормозящий момент выразится еле дующим уравнением:

Необходимо отметить, что решающее влияние на значение сум­марного коэффициента успокоения Р = Р₁ + Р₂ оказывает коэффи­циент магнитоиндукционного успокоения Р₂.

Полагая момент трения M_f = 0 (вследствие крепления рамки гальванометра на подвесе) и подставляя значения моментов М, М_Р и противодействующего Мα в уравнение (3.76), получим

Уравнение движения (3.78) есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, которое можно сделать более удобным для анализа путем введения безразмерных координат и коэффициентов:

где – установившееся отклонение подвижной части; ω₀ – частота собственных колебаний; β – степень успокоения.

После введения указанных координат и коэффициентов уравне­ние (3.78) принимает вид:

Характеристическое уравнение для решения (3.80) будет

а его корни

Далее [см. уравнение (3.84)] будет показано, что ω₀ есть угловая частота свободных, или незатухающих, колебаний подвижной части гальванометра.

В зависимости от значения β корни уравнения могут принимать различные значения, чем и будет определяться вид решения исходного уравнения, а следовательно, и характер движения подвижной расти гальванометра.

Необходимо различать три характерных случая:

β < 1 – корни мнимые и разные – движение подвижной части гальванометра имеет колебательный характер;

β > 1 – оба корня вещественные и разные – движение подвижной части носит апериодический характер;

β = 1 – оба корня вещественные и равные, что соответствует граничному случаю апериодического движения подвижной части, представляющему для практики особый интерес.

Колебательное движение. Если β < 1, т. е. корни мнимые и разные, то при следующих начальных условиях:

решение получается в следующем виде:

Из уравнения (3.82) можно сделать следующие выводы.

1. Наличие во втором слагаемом в правой части этого уравнения члена с экспоненциальным множителем е^–βτ показывает, что это слагаемое с течением времени стремится к нулю, а угол от­клонения подвижной части к установившемуся отклоне­нию (α = αс).

Теоретически это будет достигнуто через бесконечно большой промежуток времени Принято считать отклонение подвижной части гальва­нометра установившимся, когда она достигает этого отклонения с некоторой погреш­ностью δ. Обычно эта погреш­ность принимается равной ±(0,1–1,0)%.

2. Наличие в том же члене уравнения тригонометрической функции указывает, что подвижная часть до достижения ею установившегося отклонения совершает колебательное движение (кривая 1 на рис. 3.77, а и б).

Рис. 3.77. Характер движения рамки гальванометра после включения источника тока (с) и после отключения (б) 1 – β < 1; 2 – β = 1; 3 – β > 1

3. Период колебательного движения подвижной ча­сти может быть определен на основании следующих рассуждений.

Функция у = f(τ) достигает наибольших и наименьших значений при

где k – целое число: 0, 1, 2, 3 и т. д.

Максимальные значения функции будут при нечетных значениях k.

Следовательно, период колебаний

Период колебаний в секундах составляет

Если β = 0, то колебания подвижной части будут незатухающими, или свободными. Выражение (3.83) превращается в уравне­ние

Апериодическое движение. При значениях β > 1 корни характе­ристического уравнения вещественные и разные. Решение уравне­ния (3.80) для этого случая имеет вид:

На рис. 3.77, а и б кривая 3 показывает характер движения под­вижной части гальванометра при апериодическом режиме. В этом случае подвижная часть гальванометра приближается к установив­шемуся отклонению, не переходя его.

Движение при критическом успокоении. Если подобрать внешнее сопротивление, на которое замкнута рамка гальванометра, таким, чтобы степень успокоения β = 1, то корни характеристического .уравнения будут вещественные и равные х₁ = х₂ = –1. В этом случае при тех же начальных условиях, решением уравнения (3.80) будет

Рассмотренному случаю соответствует кривая 2 (рис. 3.77, а и б). Из анализа полученных выражений и сопоставления кривых 2 и 3 видно, что при β = 1 подвижная часть двигается апериодически при этом наиболее ускоренно.

Этот пограничный случай апериодического движения принято называть движением при критическом успокоении.

Суммарный коэффициент успокоения, отвечающий критическому успокоению гальванометра, называется коэффициентом крити­ческого успокоения Р_кр. Его значение может быть определено из выражения

Сопротивление R_вн.кр внешней цепи гальванометра называется внешним критическим сопротивлением гальванометра, которое определяется как наибольшее возможное сопротивление его внешней цепи, при котором подвижная часть гальванометра двигается апериодически, но наиболее ускоренно.

Сопротивление R_кр = R_г + R_вн.кр называется полным крити­ческим сопротивлением гальванометра. У некоторых гальванометров магнитная система имеет шунт, при помощи которого можно изменять индукцию B в зазоре и, следовательно, критическое сопротивление гальванометра.

Теория движения подвижной части гальванометра позволяет определить режим его работы, при котором время установления показаний будет минимальным. Оптимальный режим работы близок к критическому успокоению.

Временем успокоения подвижной части гальванометра называется промежуток времени, в течение которого подвижная часть достигает установившегося отклонения с некоторой заданной по­грешностью. Допустим, что заданная погрешность определяется заштрихованной полосой (рис. 3.77, а). Из этого рисунка следует, что оптимальный режим работы гальванометра будет колебатель­ным, но таким, при котором первая наибольшая амплитуда откло­нения подвижной части не будет превышать допускаемой погреш­ности отсчета. Очевидно, что значение оптимальной степени успо­коения β_опт будет зависеть от допускаемой погрешности отсчета. Если, например, принять допускаемую погрешность отсчета равной 0,1%, то β_опт = 0,91. Выводы относительно оптимального режима работы гальванометра справедливы для всех магнитоэлектрических приборов и в первом приближении – для остальных электроме­ханических приборов.

Теория движения подвижной части баллистического гальванометра. Увеличение момента инерции подвижной части гальванометра не изменяет его принципа действия, а лишь влияет на характер движения его подвижной части.

В основу дальнейших рассуждений положим уже высказанное (§ 3.4) допу­щение о том, что импульс тока, в котором определяется количество электричества, закончится до начала движения подвижной части гальванометра.

Принимая во внимание, что во время прохождения импульса подвижная часть неподвижна, т. е. α, а значит, и у = α/α_т, равны нулю, уравнение (3.80) перепишем так:

где а_1т – первый наибольший угол поворота подвижной части; i – мгновенное значение тока.

Интегрируя уравнение в пределах от 0 до Δτ = ω₀ Δt, где Δt–время про­хождения импульса тока, и принимая во внимание, что

где Q – количество электричества, протекшего через рамку гальванометра за этот промежуток времени, получим скорость движения

Достигнув этой начальной скорости, подвижная часть затем будет совер­шать движение, подчиняясь уже уравнению

Характер движения (колебательный или апериодический) зависит от значе­ния β. Рассмотрим наиболее простой случай, когда β = 0, что в первом при­ближении может быть, если сопротивление внешней цепи гальванометра очень велико (например, через катушку гальванометра разряжается конденсатор с хо­рошим диэлектриком). Решение уравнения (3.86) при β = 0 имеет вид:

где C₁ и С₂ – постоянные интегрирования, определяемые начальными усло­виями. При τ = 0 у = 0, a dy/dt определяется уравнением (3.85), Следовательно,

и решение уравнения (3.86) приобретает следующий вид:

Наибольшее значение у = 1 получается в моменты времени, когда sin τ = 1. Таким образом,

откуда

Величина, обратная баллистической постоянной,

называется чувствительностью гальванометра к количеству электричества или баллистической чувствительностью.

Баллистическая чувствительность обычно определяется как амплитуда пер­ового отклонения указателя гальванометра, выражается в делениях шкалы, отстоящей от зеркальца на расстоянии 1 м, и получается при прохождении через рамку количества электричества в 1 Кл.

Решить уравнение (3.86) можно и для значений β, отличных от нуля. Анализ решений уравнения (3.86) для значений β ≠ 0 показывает, что бал­листическая чувствительность, в отли­чие от чувствительности гальваномет­ра к току и напряжению, зависит от степени успокоения β.

Наибольшая баллистическая чув­ствительность получается при β = 0. По мере увеличения β чувствитель­ность падает и при критическом ус­покоении (β = 1) уменьшается по сравнению со случаем β = 0 в е раз. Время первого отброса τ₁ также уменьшается по мере увеличения степени ус­покоения.

На рис. 3.78 показано изменение этих характеристик в зависимости от сте­пени успокоения.

Рис. 3.78. Характеристики баллисти­ческого гальванометра