Динамическая погрешность

Общие положения. Если измеряемая величина х является функ­цией времени, то вследствие инерционности средства измерений и других причин возникает составляющая общей погрешности, называемая динамической погрешностью средства измерений. Она может быть определена как разность между погрешностью средства измерений в динамическом режиме и статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. Динамическая погрешность зависит как от свойств средств измере­ний, так и от характера изменения во времени измеряемой величины. По этой причине динамическая погрешность средства измерений не может быть нормирована аналогично тому, как это делается в статическом режиме. Динамическая погрешность может быть нормирована лишь для конкретных зависимостей х = F(t), напри­мер для синусоидального, линейно изменяющегося или изменяю­щегося по какому-либо другому закону входного сигнала.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением динамической по­грешности средства измерений, обусловленной лишь его инерцион­ностью, предполагая линейность звеньев средства измерений, т. е. наличие звеньев, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Способы определения динамической погрешности. Если средство измерений разбить на звенья, как это было указано выше, то ди­намический режим каждого звена может быть описан линейными дифференциальными уравнениями и для конкретной структурной схемы средства измерений может быть получена система дифферен­циальных уравнений. Пусть, например, структурная схема средства измерений соответствует рис. 1.2. В этом случае система дифферен­циальных уравнений может иметь вид¹⁴:

(2.31)

где a₁, a_2, …,a_n+1, k₁, k₂, …,k_n - постоянные коэффициенты.

Решая систему уравнений (2.31) относительно выходного сиг­нала и его производных, получим

(2.32)

где b₁, b_2, …,b_m - постоянные коэффициенты, зависящие от коэф­фициентов, входящих в систему уравнений (2.31).

Решить уравнение (2.32) нельзя, так как его правая часть неиз­вестна (измеряемая величина). Один из возможных путей определе­ния динамической погрешности заключается в том, что выходной игнал х_n, являющийся функцией времени, записывается каким-либо быстродействующим самопишущим прибором (см. гл. 4) и записанная функция выражается аналитически, т.е. решение уравнения (2.32) находится экспериментально. Тогда, пользуясь уравнением (2.32), может быть найден входной сигнал х и опре­делена результирующая погрешность. Если при этом статическая погрешность средства измерений незначительна, то полученная разность в первом приближении будет равна абсолютной динами­ческой погрешности средства измерений. При этом способе нахож­дения динамической погрешности удобно пользоваться передаточ­ной функцией средства измерений:

(2.33)

где х_n(р) и х(р) - преобразования Лапласа для выходного и вход­ного сигналов. Если Н(р) известна и записан выходной сигнал, то на основании (2.33) может быть определена измеряемая величина x(t) и найдена результирующая погрешность.

Пример. Допустим, что для исследуемого средства измерений уравне­ние (2.32) имеет вид:

где β - коэффициент; х - входной сигнал; у - выходной сигнал.

Передаточная функция в этом случае

(2.34)

Если записанный быстродействующим самопишущим прибором выходной сигнал может быть аппроксимирован уравнением

(2.35)

где Y_m - амплитуда выходного сигнала, которую условно можно принять рав­ной единице, то на основании (2.34) и (2.35) находим входной сигнал:

(2.36)

где

(2.37)

Пользуясь формулами (2.35) и (2.36), находим динамическую погрешность (статической погрешностью пренебрегаем). В данном случае относительную дина­мическую погрешность удобно представить в виде двух составляющих: фазовой погрешности φ, определяемой формулой (2.37), и амплитудной погрешности γ_A (в процентах):

(2.38)

Рассмотренный теоретико-экспериментальный способ нахожде­ния динамической погрешности средства измерений имеет достоин­ство, заключающееся в том, что полученный результат дает воз­можность анализировать влияние параметров звеньев на динамическую погрешность и находить оптимальные их значения.

Однако при применении этого способа на практике иногда встре­чаются большие трудности или вообще данный метод применить нельзя. Получается неправильный результат, если какие-либо составляющие измеряемой величины (например, высокочастотные) не проходят через средство измерений и, следовательно, не фиксируются регистрирующим устройством. Существенные трудности возникают при наличии в средстве измерений нелинейных звеньев, т. е. таких звеньев, динамический режим которых описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Метод неприменим, если записанный выходной сигнал не может быть аналитически выражен элементарными функциями и если измеряемая величина представляет собой случайный процесс. В этих случаях исследо­вание динамической погрешности может производиться методами теории случайных функций, рассматриваемых в специальных курсах.

Следует отметить, что в лабораторных условиях всегда остается путь экспериментального исследования динамической погрешности, заключающийся в том, что одновременно быстродействующими самопишущими приборами записываются входной и выходной сигналы средства измерений и путем их сопоставления может быть приближенно определена динамическая погрешность при различ­ных по характеру изменениях во времени входных сигналов.