Вероятностные оценки ряда наблюдений

Законы распределения. При выполнении повторных измерений одной и той же измеряемой величины легко убедиться, что ре­зультаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Это отличие объясняется действием погрешностей, являющихся, как было отмечено, случайными величинами. Полным описанием слу­чайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения. Этим законом распределения и определяется характер появления различных результатов отдельных измерений в ряду наблюдений.

В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных зако­нов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаус­са), который базируется на центральной предельной теореме теории вероятностей⁷.

Математически нормальное распределение случайных погреш­ностей может быть представлено формулой

(2.1)

где ω(δ) - плотность вероятности случайной погрешности δ; σ - среднее квадратическое отклонение.

Характер кривых, опи­сываемых уравнением (2.1) для двух значений σ, показан на рис. 11. Из этих кривых видно, что чем меньше σ, тем чаще встречаются малые случайные по­грешности, т. е. тем точнее выполнены измерения.

Рис. 11. Закон нормального распределения случайных погрешностей

Рис. 12. Закон равномерной плотности

Кроме нормального закона распределения погрешностей в прак­тике электрических измерений сравнительно часто встречается закон равномерной плотности. При измерении какой-либо величины прибором всегда существуют некоторые границы неопределенности, например, определяемые основной погрешностью прибора. В пре­делах этих границ невозможно установить значение измеряемой величины, которое в пределах границ может быть различным, причем эти значения могут оказаться равновероятными.

На рис. 12 показан закон равномерной плотности. Аналити­чески он может быть записан так:

(2.2)

где ω(δ) - плотность распределения погрешности в интервале от до .

В практике измерений встречаются и другие законы распределе­ния, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных. Некоторые из наиболее часто встре­чающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности измерений и формы представления результа­тов измерений».

Основные характеристики законов распределения. Основными характеристиками законов распределения являются математиче­ское ожидание и дисперсия. Математическое ожидание ряда наблю­дений есть величина, относительно которой рассеиваются резуль­таты отдельных измерений. Если систематическая погрешность отсутствует, и разброс результатов отдельных измерений обуслов­лен только случайной погрешностью, то математическим ожида­нием такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины. Если же результаты отдельных измерений кроме слу­чайной погрешности содержат постоянную систематическую по­грешность, то математическое ожидание ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.

Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математи­ческого ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Следо­вательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в едини­цах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве харак­теристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии с положительным знаком и выражаемое в единицах измеряемой величины. Среднее квадратическое отклонение, отне­сенное к значению измеряемой величины, может быть выражено в относительных единицах или в процентах. Если результаты от­дельных измерений содержат постоянную систематическую по­грешность (в частном случае равную нулю), то разброс отдельных результатов относительно математического ожидания происходит только под действием случайной погрешности. В этом случае дис­персия ряда наблюдений равна дисперсии случайной погрешности.

Оценки основных характеристик ряда наблюдений. Обычно мате­матическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений неизвестны. В этом случае их приходится оценивать по результатам полученного ряда наблюдений.

Оценка математического ожидания ряда наблюдений. Как сле­дует из теории вероятностей, оценкой математического ожидания ряда наблюдений может служить среднее арифметическое результа­тов отдельных наблюдений

(2.3)

где a₁, a₂,…, a_n - результаты отдельных наблюдений; n - число наблюдений.

Отклонение между каждым из отдельных значений и средним арифметическим (разности ρ₁ = а₁ - А_ср; ρ₂ = а₂ - А_ср;…; ρ_n = а_n - А_ср) называется случайным отклонением результата на­блюдения (или остаточной погрешностью) и может иметь как поло­жительный, так и отрицательный знак.

Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т. е. Σρ_i = 0; этим следует пользоваться для контроля правиль­ности подсчета A_ср. При неограниченно большом числе наблюде­ний A_ср стремится к математическому ожиданию ряда наблюдений.

Оценка дисперсии ряда наблюдений, согласно теории вероят­ностей, может быть выражена через остаточные погрешности фор­мулой

(2.4)

Оценкой среднего квадратического отклонения ряда наблюде­ний будет , т. е. S с положительным знаком.

При неограниченно большом числе наблюдений (практически при n > 30) оценки S² и S совпадают соответственно с дисперсией и средним квадратическим отклонением ряда наблюдений.