1.2.5. Функциональные отношения

Отношение называется всюду (полностью) определенным, если (рис. 1.6a). В противном случае отношение частично определенное.

Отношение называется сюрьективным, если (рис. 1.6b).

Образом элемента в множество при отношении называется множество всех , соответствующих элементу (рис. 1.6с).

Прообразом элемента в множество при отношении называется множество всех , которым соответствует (рис. 1.6d).

Рис. 1.6.

Образом множества называется объединение образов всех элементов . Иначе .

Прообразом множества называется объединение прообразов всех элементов . Иначе .

Отношение называется функциональным (однозначным), или просто функцией, если образом любого элемента из области определения является единственный элемент из области значений .

Примеры.

1. Матрица задает функциональное отношение, если в любой строке содержится только одна единичка.

2. Матрица задает взаимнооднозначное отношение, если в любой строке и любом столбце содержится одна и только одна единичка.

3. Отношение функционально.

4. Отношение функционально. Но то же самое отношение, если и принадлежат множеству всех целых чисел (положительных и отрицательных) не является функциональным.

Отношение называется взаимно однозначным, если оно:

• всюду определено;

• сюрьективно;

• функционально;

• прообразом любого элемента является единственный элемент .

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными.

Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.

1.2.6. Функции и отображения

Для всякого функционального отношения определим функцию , связанную с этим отношением.

Пусть функция устанавливает отображение между множествами и . Говорят, что функция имеет тип (обозначается ).

Отображением в называется всюду определенное функциональное отношение (рис. 1.7a).

Отображением А на В называется всюду определенное и сюрьективное функциональное отношение) (рис. 1.7b).

Рис.1.7.

Пример. Пусть – множество значений углов, – множество вещественных чисел. Отношение является функциональным, так как любое значение угла имеет только единственное значение синуса и, соответственно, определяет функцию . Данная функция является отображением, т.к. .

Является ли данное отображение отображением в ? Да, т.к. оно всюду определено, т.е. .

Является ли данное отображение отображением на ? Нет, т.к. оно не сюрьективно, т.е. .

1.2.7. Операции

Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. Функция одного аргумента называется унарной операцией.

Примеры унарных операций – элементарные функции ; дополнение множества , обратное отношение .

Функция двух аргументов , имеющая тип , называется бинарной операцией.

Примеры бинарных операций – арифметические операции сложения, умножения; операции над множествами – пересечение, объединение.

Множество вместе с заданными на нем операциями называется алгеброй и обозначается .

Здесь – называется основным множеством, а – сигнатурой алгебры.

Пример: булева алгебра.