1.1.2. Способы задания множеств

Перечислением, т.е. списком своих элементов. Перечислением можно задать лишь конечные множества. Например, множество студентов группы ={Иванов, Петров, Сидоров}; множество устройств ПЭВМ В={процессорный блок, монитор, клавиатура}.

Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы, т.е. некоторой распознающей процедурой. Например, множество периферийных устройств ПЭВМ может быть определено ={ – периферийное устройство ПЭВМ}, или ={}.

Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов, либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть получены с помощью такой процедуры.

Например, множество целых чисел, являющихся степенями двойки, может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя рекуррентными (индуктивными) правилами:

а) , b) если , то .

Подобным же образом можно задать множество клеток шахматной доски доступных коню за два хода, если в начальном состоянии он находится в клетке :

a) , b) , если в можно попасть из ходом коня.

Порождающей процедурой удобно задавать элементы бесконечных множеств.

Пример. Задать различными способами множество всех натуральных чисел.

Решение.

1. Списком задать это множество нельзя.

2. Описанием характеристических свойств: ={ – целое положительное число}.

3. Порождающей процедурой: а) , в) если , то .

Пример. Задать разными способами множество М всех положительных четных чисел  100.

1. Списком: М={2,4,6 … 100};

2. Описанием характеристических свойств: М={n / nN и n/2  N; n  100 };

3. Порождающей процедурой: 2M; если nN, то (n+2)N; n  98.

1.1.3. Диаграммы Эйлера – Венна

Диаграммы Эйлера – Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграмм заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов или других замкнутых фигур, представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче. Точки внутри фигур обозначают элементы множеств. Пример диаграммы Эйлера–Венна для двух пересекающихся множеств и , представлен на рисунке 1.1.

1.1.4. Операции над множествами

Объединением множеств и (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или . или .

Пересечением множеств и (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и , и . и .

Объединение и пересечение произвольной совокупности множеств определяются аналогично. .

Разностью множеств и (обозначается ) называется множество всех тех элементов , которые не содержатся в . Разность – операция строго двухместная и некоммутативная, в общем случае .

Дополнением (до ) множества (обозначается ) называется множество всех элементов не принадлежащих (но принадлежащих ). .

Операции , будем называть булевыми операциями над множествами.

Пример. Пусть – множество сотрудников некоторой фирмы, – множество сотрудников старше 30 лет, – множество мужчин, – множество программистов.

Тогда: – множество женщин, – множество мужчин – программистов, младше 30 лет, – множество сотрудников старше 30 лет или мужчин не программистов, – множество мужчин, не являющихся программистами, – множество программистов – женщин.

Пример. Пусть U={1,2,3,4}, A={1,3,4}, B={2,3}, C={1,4}. Найти .

Ответы.

.

Пример. На диаграммах Эйлера–Венна заштриховать множества , , рассмотрев для каждого примера три варианта взаимного размещения множеств .

Ответы.

Рис. 1.2. Варианты диаграмм Эйлера–Венна для множества

Рис. 1.3. Варианты диаграмм Эйлера–Венна для множества