3.1.8. Связность. Цикломатическое число графа

Во многих задачах интерес представляют характеристики связности графа. Ранее отмечалось, что граф может быть связным или несвязным. Но это бинарная характеристика. Ясно, что связный граф может быть более связен и менее связен.

Как обычно, для иллюстрации тех или иных свойств графа рассмотрим простую задачу. Назовем ее «задача о рисовых полях». Известно, что при выращивании риса небольшие участки земли – чеки – заливают водой, а перед сбором урожая эту воду спускают. Для заполнения чеков нужно в некоторых земляных плотинах, отгораживающих чеки друг от друга, открыть проходы. Вопрос: сколько стенок (земляных плотин) следует разрушить, чтобы заполнить все поле водой?

Решение этой задачи очень простое, если использовать теорию графов. На рисовое поле можно смотреть как на граф, имеющий циклы (каждый чек – цикл). Для заполнения поля водой достаточно в каждом чеке разрушить одну стенку (в каждом цикле удалить одно ребро). Оставшиеся ребра образуют граф–дерево. Число вершин в графе останется без изменения, а число ребер будет равно . Если ранее в графе было ребер, то удалить пришлось ребро. Величина называется цикломатическим числом связного графа.

Цикломатическое число несвязного графа равно сумме цикломатических чисел связных компонент. Очевидно, что для любого графа–дерева это число равно нулю. Для леса – равно сумме цикломатических чисел связных компонент графа, т.е. тоже нулю. Для остальных графов цикломатические числа положительны.

Пример. Сколько и какие ребра следует удалить в графах на рис.3.16, чтобы превратить их в дерево?

Рис. 3.16.

Ответ. Граф а) включает 9 вершин и 11 ребер. Соответственно его цикломатическое число равно 11-9+1=3. Для графа б) эти расчеты дают 9-6+1=4. Вариантов удаления ребер из графа может быть довольно много. На рис. 3.17 показаны графы, полученные удалением ребер из графа а), и ребер из графа б).

Рис. 3.17.

3.1.9. Двудольные (четные) графы

Определение. Граф называется двудольным (или четным), если множество его вершин распадается на два непересекающихся подмножества и , таких, что каждое ребро графа имеет один конец из , а другой из . Двудольные графы рассматриваются во многих задачах дискретной математики, например, в так называемых задачах о назначениях, когда одна группа вершин соответствует некоторым должностям, а другая – претендентам на эти должности. Из самой постановки очевидно, что связи в графе могут быть только между вершинами, относящимися к разным группам.

Особая роль двудольных графов состоит в том, что они используются для представления объектов в системах событийного моделирования. Основная идея такого представления состоит в выделении двух типов элементов, которые в разных системах моделирования могут называться по разному, но всегда один тип связан со статическим состоянием объекта, а другой с переходом из одного статического состояния в другое. Дуги показывают направления переходов. Важно, что однородные элементы не могут быть соединены напрямую, например, событие – событие, а только через элементы другой группы, через переходы.

Одна из таких систем – сети Петри, широко используемые для моделирования технических, экономических, юридических и других систем. Структуру сети Петри можно рассматривать как двудольный граф, в котором одно множество вершин состоит из позиций, а другое множество из переходов. Ориентированные дуги соединяют позиции и переходы. Дуга, направленная от позиции к переходу определяет позицию, которая является входом перехода. Кратные входы в переход указываются кратными дугами на входных позициях в переход. Выходная позиция указывается дугой от перехода к позиции.

Рис. 3.18. Двудольный граф – сеть Петри

На рисунке 3.18 представлена сеть Петри, изображенная так, как это принято в теории сетей Петри, включающая 5 позиций и 4 перехода.

С точки зрения теории графов, приведенная сеть Петри это ориентированный двудольный мультиграф, т.к. допускает существование кратных дуг, в котором все множество вершин можно поделить на два подмножества: подмножество позиций и подмножество переходов . Каждая дуга направлена от элемента одного подмножества к элементу другого подмножества. На этих подмножествах определено отношение инцидентности .

Для двудольных графов справедлива следующая теорема: граф является двудольным, если все его циклы имеют четную длину.

Данная теорема является удобным конструктивным инструментом, позволяющим быстро проверить двудольность графа.

Пример.

Проверить двудольность данных графов.

Рис. 3.19

Для решения задачи проще всего использовать вышеприведенную теорему о четной длине циклов двудольного графа. Граф 3.19а не является двудольным, так как имеет циклы нечетной длины. Граф 3.19b двудольный, так как все его циклы имеют четную длину. На рисунке 3.19c тот же граф представлен в традиционном для двудольных графов виде – с разделенными множествами вершин.