2.4. Минимизация дизъюнктивных нормальных форм
2.4.1. Приведение к дизъюнктивной нормальной форме
Ранее определено, что всякая функция алгебры логики, отличная от 0, может быть представлена совершенной дизъюнктивной нормальной формой
Однако
СДНФ обычно допускает упрощения, в
результате которых получается формула,
также реализующая
,
но содержащая меньшее число символов
(термов).
Рассмотрим методы представления функций алгебры логики простейшими формулами в классе так называемых дизъюнктивных нормальных форм (ДНФ).
Введем ряд определений. Назовем выражение
элементарной конъюнкцией.
Дизъюнктивной
нормальной формой
(ДНФ) называется формула, имеющая вид
дизъюнкции элементарных конъюнкций
,
в которой все
различны.
В таком случае СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) – это ДНФ, в которой каждая конъюнкция содержит все переменные или их отрицания.
Количество
первичных термов, которые образуют
форму, задающую булеву функцию
,
называют сложностью
этой формы. Например, для
.
Минимальной
(наименее сложной)
ДНФ функции
называется ДНФ, реализующая
и содержащая наименьшее число термов
по сравнению со всеми другими ДНФ,
реализующими
.
Существует
тривиальный алгоритм построения
минимальной ДНФ. Все ДНФ, составленные
из переменных
,
упорядочиваются по возрастанию числа
термов и по порядку для каждой ДНФ
проверяется соотношение
.
Первая по порядку ДНФ, для которой это
соотношение выполняется, есть, очевидно,
минимальная ДНФ. Однако, уже при
этот метод приводит к перебору огромного
числа ДНФ, так как известно, что число
различных элементарных конъюнкций,
составленных из
,
равно
.
Число же всех возможных ДНФ, составленных
из
,
т.е. мощность множества, из которого
требуется сделать выбор, равно
.
Таким образом, тривиальный алгоритм
построения минимальной ДНФ является
чрезвычайно трудоемким, по крайней мере
при ручной обработке.
Существуют различные способы повышения эффективности алгоритма синтеза минимальных ДНФ. Большинство из них заключается в том, что из множества всех элементарных конъюнкций некоторым, сравнительно нетрудоемким способом, удаляются конъюнкции, которые заведомо не входят в минимальные ДНФ. Это приводит к снижению мощности множества ДНФ, в котором находятся минимальные ДНФ заданной функции. Вторая группа способов связана с более экономичным перебором ДНФ из этого множества.
2.4.2. Геометрическая интерпретация задачи минимизации днф
Для
каждой ДНФ
функции
выполняется соотношение
.
Говорят,
что с каждой ДНФ функции
связано покрытие подмножества
такими интервалами
,
что
.
Обозначим через
ранг интервала
.
Тогда
совпадает с числом символов в ДНФ. Задача
отыскания минимальной ДНФ сводится,
очевидно, к отысканию такого покрытия
интервалами
,
чтобы выражение
было минимальным.
Простейший
известный нам способ покрытия – покрытие
СДНФ. Здесь каждый
.
Для ранее рассмотренного графического
примера имели
Графически,
из рис. 2.2, получим покрытие
.
2.4.3. Допустимые конъюнкции
При
построении минимальных ДНФ для функции
достаточно рассматривать только те
интервалы
,
для которых
,
т.е.
.
Такие интервалы и соответствующие им
конъюнкции называются допустимыми.
Возможен
следующий способ повышения эффективности
тривиального алгоритма. Выделяются все
допустимые конъюнкции
и к множеству этих конъюнкций {
}
применяется тривиальный алгоритм. Этот
простой прием существенно увеличивает
эффективность тривиального алгоритма.
Множество
всех допустимых конъюнкций {
}может
быть получено путем удаления из числа
конъюнкций «лишних». Заметим, что
конъюнкции, обращающиеся в единицу в
вершине
,
есть произведения некоторых из символов
.
Поэтому, если
,
то из списка всех
конъюнкций следует удалить
конъюнкций, составленных из сомножителей,
входящих в множество
.
Иными словами, если
некоторая нулевая вершина n–куба
связана с конъюнкцией
,
то недопустимыми являются все конъюнкции,
которые могут быть получены из данного
набора символов.
Пример.
Рассмотрим функцию, заданную таблицей истинности 2.12.
Таблица 2.12.
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
1 |
1 0 0 |
0 |
|
0 0 1 |
1 |
1 0 1 |
1 |
|
0 1 0 |
1 |
1 1 0 |
0 |
|
0 1 1 |
0 |
1 1 1 |
1 |
Множество
состоит из трех точек – (011), (100), (110).
Составим таблицу коньюнкций, связанных
с этими точками.
Таблица 2.13.
|
Точки
множества
|
Конъюнкции, обращающиеся в единицу в
точках на
|
|
011 |
|
|
100 |
|
|
110 |
|
Все
конъюнкции, указанные в данной таблице,
должны быть удалены из множества 27
конъюнкций, составленных из переменных
.
После удаления останутся конъюнкции
EMBED Equation.DSMT4
.