3.4 Правила построения матриц отношений , r-1, r(2), r0, r*.

1. Матрица дополнения – в матрице исходного отношения R заменяют единицы нулями, а нули – единицами.

2. Матрица обратного отношения R^-1 – для ее построения проставляют в ней единицы, симметричные относительно главной диагонали, соответствующие единицам исходной матрицы.

3. Матрица составного отношения R⁽²⁾.

… a_k1... a_j... a_k2

.

.

а_i 1 1

.

.

.

а_j 1 1

рис. 3.1

Для каждой единицы исходной матрицы отношения R, принадлежащей i-ой строке, например единицы в j-ой компоненте, в i-ой строке вычисляемой матрицы проставить единицы в тех k-ых компонентах, в которых имеются единицы в j-ой строке исходной матрицы (см. рис. 3.1).

4. Матрица транзитивного замыкания R⁰ нетранзитивного отношения R – для ее построения проделывается ряд итераций:

1) в матрицу составного отношения R⁽²⁾ заносят все единицы исходной матрицы, которые отсутствуют в R⁽²⁾.

2) полученную матрицу принимают за исходную и повторяют для нее процедуру (1). Выполняют это до тех пор, пока матрица не перестанет изменяться.

5. Матрица рефлексивного замыкания R^* - для ее построения, построить матрицу транзитивного замыкания, а затем в полученной матрице заменить нули на главной диагонали на единицы.

Пример:

Каковы свойства отношения R, заданного матрицей на рис. 3.2.

R	a	b	c
a	0	1	0
b	1	0	0
c	0	1	0

рис.3.2

Построить , R^-1, R⁽²⁾, R⁰, R^*.

Решение:

Отношение R = {(a, b),(b, a),(c, b)}

- антирефлексивно, т.к. на главной диагонали только нули.

- несимметрично, т.к. c R b есть, но нет b R c.

- не антисимметрично, т.к. есть симметричная пара (a, b) и (b, a).

- не транзитивно, т.к. есть c R b и b R a, но нет c R a.

	1	2	3			R-1	1	2	3			R(2)	1	2	3			R0	1	2	3			R*	1	2	3
1	1	0	1			1	0	1	0			1	1	0	0			1	1	1	0			1	1	1	0
2	0	1	1			2	1	0	1			2	0	1	0			2	1	1	0			2	1	1	0
3	1	0	1			3	0	0	0			3	1	0	0			3	1	1	0			3	1	1	1

Пример:

На множестве чисел М={1, 2, 3, 4, 5, 6}определено отношение R: “отличаться на 1 ”. Построить матрицы R, , R^-1, R⁽²⁾, R⁰, R^*.

Решение:

Отношение R = {(a ,b): a+1=b или b+1=a}.

Это отношение антирефлексивно, симмитрично, не транзитивно.

R	1	2	3	4	5	6				1	2	3	4	5	6			R-1	1	2	3	4	5	6
1	0	1	0	0	0	0			1	1	0	1	1	1	1			1	0	1	0	0	0	0
2	1	0	1	0	0	0			2	0	1	0	1	1	1			2	1	0	1	0	0	0
3	0	1	0	1	0	0			3	1	0	1	0	1	1			3	0	1	0	1	0	0
4	0	0	1	0	1	0			4	1	1	0	1	0	1			4	0	0	1	0	1	0
5	0	0	0	1	0	1			5	1	1	1	0	1	0			5	0	0	0	1	0	1
6	0	0	0	0	1	0			6	1	1	1	1	0	1			6	0	0	0	0	1	0

R(2)	1	2	3	4	5	6			R0	1	2	3	4	5	6			R*	1	2	3	4	5	6
1	1	0	1	0	0	0			1	1	1	1	1	1	1			1	1	1	1	1	1	1
2	0	1	0	1	0	0			2	1	1	1	1	1	1			2	1	1	1	1	1	1
3	1	0	1	0	1	0			3	1	1	1	1	1	1			3	1	1	1	1	1	1
4	0	1	0	1	0	1			4	1	1	1	1	1	1			4	1	1	1	1	1	1
5	0	0	1	0	1	0			5	1	1	1	1	1	1			5	1	1	1	1	1	1
6	0	0	0	1	0	1			6	1	1	1	1	1	1			6	1	1	1	1	1	1

Пример:

Пусть на множестве М = {1, 2, 3, 4, 5, 6} определено отношение R – “быть меньше ”. Задать матрицами отношение: R, , R^-1, R⁽²⁾,R⁰, R^*.

R	1	2	3	4	5	6				1	2	3	4	5	6			R-1	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	1	1	1			1	1	0	0	0	0	0			1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	1	1	1			2	1	1	0	0	0	0			2	1	0	0	0	0	0
3	0	0	0	1	1	1			3	1	1	1	0	0	0			3	1	1	0	0	0	0
4	0	0	0	0	1	1			4	1	1	1	1	0	0			4	1	1	1	0	0	0
5	0	0	0	0	0	1			5	1	1	1	1	1	0			5	1	1	1	1	0	0
6	0	0	0	0	0	0			6	1	1	1	1	1	1			6	1	1	1	1	1	0

R(2)	1	2	3	4	5	6			R0	1	2	3	4	5	6			R*	1	2	3	4	5	6
1	0	0	1	1	1	1			1	0	1	1	1	1	1			1	1	1	1	1	1	1
2	0	0	0	1	1	1			2	0	0	1	1	1	1			2	0	1	1	1	1	1
3	0	0	0	0	1	1			3	0	0	0	1	1	1			3	0	0	1	1	1	1
4	0	0	0	0	0	1			4	0	0	0	0	1	1			4	0	0	0	1	1	1
5	0	0	0	0	0	0			5	0	0	0	0	0	1			5	0	0	0	0	1	1
6	0	0	0	0	0	0			6	0	0	0	0	0	0			6	0	0	0	0	0	1